Алгебра операторных полиномов

[math]P=\{p(\lambda)|\forall \deg p(\lambda)\}[/math]

Пусть [math]A:X \to X[/math]; и Пусть [math]p(\lambda) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\lambda^s \to p(A) = \displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s A^s[/math]

[math]P(A) = \{p(A)|\forall \deg p(A)) \}[/math]

[math]P(A)[/math] - п.п. [math]X \times X = \{\forall B:X \to X\}[/math]

[math]P(A)[/math] - тоже алгебра

0) [math]p(A) \cdot q(A) \in P(A)[/math]

1) [math](p(A) \cdot q(A))r(A) = p(A)\cdot(q(A)\cdot r(A))[/math]

2) [math]p(A)*(q(A)+r(A))=p(A)*q(A)+p(A)*r(A)[/math]

3) [math](\alpha \cdot p(A))\cdot q(A)=p(A)*(\alpha*q(A))=\alpha(p(A)*q(A))[/math]

4) [math]p(A)*q(A) = q(A)*p(A)[/math]

[math]A^m\cdot A^n=A^n*A^m=A^{m+n}[/math]

[math]m,n \in N[/math]

Теорема [math]P(A[/math]) - подалгебра [math]X \times X[/math] (коммутативные)

[math]S_A:P\to P(A)[/math]

[math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s\cdot\lambda^s \to p(A)=\displaystyle \sum_{s=0}^m \alpha_s \cdot A^s[/math]

[math](A^0 = I)[/math]

Теорема:

Пусть [math]p_1(\lambda)[/math] и [math]p_2(\lambda)[/math] - взаимнопростые Тогда [math]\exists q_1(\lambda) и q_2(\lambda):p_1(A)*q_1(A)+p_2(A)*q2(A)=I[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Было:[math]p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda)=1[/math] [math](*)[/math] [math]S_A(*): p_1(\lambda)*q_1(\lambda)+p_2(\lambda)*q_2(\lambda) = S_A 1 = I[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]p(\lambda)=p_1(\lambda)*p_2(\lambda)[/math] (Н.О.Д. [math]\{p_1(\lambda), p_2(\lambda)\}=1[/math]) Тогда [math]\ker p(A)=\ker p_1(A) \dotplus \ker p_2(A)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math]x=x_1+x_2[/math], где [math]x_1 \in \ker p_1(A)[/math], [math]x_2 \in \ker p_2(A) \Rightarrow [/math] [math]p(A)x=p(A)x_1+p(A)x_2 = p_1(A) \cdot p_2(A) x + p_1(A)p_2(A) x_2 = [/math](коммутативность)[math] = p_2(A)*p_1(A)x_1+p_1(A)0=0+0=0 \Rightarrow [/math] [math]x \in \ker p(A)[/math] Итого: [math]\ker p_1(A)+\ker p_2(A) \subset \ker p(A)[/math] 2) Надо: [math]\ker p(A) \subset \ker p_1(A) + \ker p_2(A)[/math] [math]\forall x = x_1 + x_2 (?)[/math] [math]\forall x \in \ker p(A), x_1 \in \ker p_1(A), x_2 \in \ker p_2(A)[/math] Пусть [math]x = Ix = p_2(A)q_2(A)x+p_1(A)q_1(A)x, x \in \ker p(A)[/math] Рассмотрим [math]p_1(A)x_1 = (p_1(A) \cdot p_2(A))q_2(A)x= p(A)\cdot q_2(A)x = q_2(A)\cdot p(A) x[/math] I. Итого: [math]\ker p(A) = \ker p_1(A)+\ker p_2(A)[/math] II. доказательство, что прямая сумма ([math]\dotplus[/math]) Надо: [math]\ker p_1(A) \cap \ker p_2(A) = \{0_x\}[/math] От противного: пусть [math]\exists z\in \ker p_1(A) \cap \ker p_2(A)[/math] Рассмотрим [math]z = Iz = p_1(A)q_1(A)z+p_2(A)q_2(A)z=q_1(A)p1(A)z+q_2(A)p_2(A)z=0[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Пусть [math]p(\lambda)=\displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math], где [math]p_i(\lambda)[/math] - взаимнопростые делители [math]p(\lambda)[/math]. Тогда [math]\ker p(A) = \dotplus \displaystyle \sum_{i=1}^k \ker p_i(A)[/math]

Определение:

Пусть [math]p(\lambda):p(A) = O[/math]. Тогда [math]p(\lambda)[/math] называется аннулирующим полиномом линейного оператора A.

N.B:

[math]p(A)=O \Leftrightarrow \forall x \in X : p(A)x = Ox \Leftrightarrow p(A)x = \{Ox\} \Leftrightarrow Im p(A) =\{Ox\} \Leftrightarrow \ker p(A) = X[/math]

Лемма:

Рассмотрим [math]X \times X[/math] и [math]\{I,A,A^2,...\}[/math]. [math]dim X=n \Rightarrow dim X \times X = n^2[/math] Аннулирующие полиномы есть в природе.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\{I,A,A^2,...\}[/math] - набор ЛЗ [math]\Rightarrow [/math] [math]\exists \alpha_s: \displaystyle \sum_{s=0}^{n^2} \alpha_s \cdot A^s = O[/math] Рассмотрим [math]p(\lambda)=\displaystyle \sum_{s=0}^{n2} \alpha_s \cdot \lambda_s[/math] - аннулирующий полином.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Множество всех аннулирующих полиномов данного автоморфизма [math]A[/math] образует идеал в алгебре скалярных полиномов [math]P[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]I_A[/math] Рассмотрим [math]p(\lambda) \in I_A, p(\lambda) \in P \Rightarrow p(\lambda)q(\lambda) \in I_A[/math] (?)

[math]\triangleleft[/math]

[math]S_A(p(\lambda)q(\lambda)) = p(A)q(A) = O \cdot q(A) = O[/math], ч.т.д.

Минимальный полином линейного оператора

Определение:

Минимальный полином построенного идеала [math]J_A[/math] называется минимальным полиномом A(минимальным аннулирующим полиномом A)

Пример.

Пусть [math]A[/math]-л.о. с простым спектром.

[math]X_a(\lambda) = \prod_{i=1}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

[math]A=\displaystyle \lambda_i P_{\lambda_i}[/math]

[math]A = \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i\cdot P_{\lambda_i}[/math]

[math]X_A(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n X_A(\lambda_i)\cdot P_{\lambda_i} = O[/math], т.е. [math]X_A \in J_A[/math]

[math]X_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_j)\cdot \widehat{X_A}(\lambda)[/math]

[math]\widehat{X_A}(\lambda) = \prod_{i=1, j!=i}^n (\lambda-\lambda_i)[/math]

Рассмотрим [math]x_j \in L_{\lambda_j} \Rightarrow \widehat{X_A}(A)x_j \ne O [/math]

[math]X_A(A)=O[/math] - тождество Кэли

[math]X_A(A)[/math] - аннулирующий, но не минимальный полином.

Теорема:

Для [math]p(A)=q(A)[/math], Н и Д, чтобы [math](p(\lambda)-q(\lambda))[/math] делился на [math]p_A(\lambda)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]p(A)=q(A) \Leftrightarrow p(A)-q(A) = O \Leftrightarrow (p(A)-q(A))x=Ox [/math](для [math]\forall x \in X[/math]) [math]p(\lambda)-q(\lambda) = p_A(\lambda)\cdot \widehat{p}(A)=O[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие Пусть [math]r(\lambda)[/math] - остаток от деления [math]p(\lambda)[/math] на [math]p_A(\lambda)[/math] Тогда [math]p(A)=r(A)[/math]

[math]p(\lambda)=p_A(\lambda)\cdot q(\lambda)+r(\lambda)[/math]

Теорема:

Пусть [math]p_A(\lambda)=\prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math] ([math]p_i(\lambda)[/math] - взаимно простые делители) Тогда [math]X = \dotplus\sum_{i=1}^n \ker p_i(A)[/math] потому, что [math]\ker p_A(A) = X[/math]

Теорема:

Пусть [math]p_A(\lambda)=p_1(\lambda)\cdot p_2(\lambda)[/math] (взаимнопростые) Тогда [math]\ker p_1(A) = Im p_2(A)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]p_A(A)X = \{Ox\}[/math] [math]p_1(A)(p_2(A)X)=\{Ox\}[/math] [math]p_2(A)X = Im p_2(A) \Rightarrow \forall x \in Im p_2(A):p_1(\mathcal{A})x=Ox [/math] [math]\Rightarrow Im p_2(\mathcal{A}) \subset \ker p_1(\mathcal{A})[/math] Надо доказать: [math]dim Im p_1(\mathcal{A}) = dim \ker p_1(\mathcal{A}) (?)[/math] [math]X=\ker p_A(\mathcal{A})=\ker p_1(\mathcal{A}) \dotplus \ker p_2(\mathcal{A})[/math] 1) [math]n = dim X = dim \ker p_1(\mathcal{A}) + dim \ker p_2(\mathcal{A})[/math] (1) 2) [math]n = dim X = dim Im p_2(\mathcal{A}) + dim \ker p_2(\mathcal{A})[/math] (2)

[math]\triangleleft[/math]