1632
правки
Изменения
м
Пусть задан неориентированный граф Языком IND называют множество пар <tex>\langle G,k \rangle</tex>, где <math>G</math> и натуральное число - неориентированный граф, <math>k</math>- натуральное число. '''Задача о независимом множестве(Слово принадлежит языку IND)''' решает вопрос о том, содержит ли если граф <math>G</math> содержит подграф <math>H</math> размером <math>k</math>, никакая пара вершин в котором не соединена ребром.Задача о независимом множестве является [[Понятие NP-трудной и NP-полной задачи|NP-полной]].
Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы одна переменная, принимающая значение “правда”. Выберем соответствующую переменную в качестве вершины в графе. Выбранное множество вершин является независимым, так как ребрами соединены только вершины, которые соответствуют переменным из одной скобки(а мы выбирали только одну переменную из каждой скобки) и пары вершин, которым советуют пары переменных вида <math>x,\overline{x}</math>, которые не могут одновременно принимать значение “правда”. Пусть в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующей переменной “правда”. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы одна переменная, имеющая значение “правда”, значит вся формула будет принимать значение “правда”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
rollbackEdits.php mass rollback
==Формулировка==
==Доказательство NP-полноты==
Для доказательства NP-полноты задачи о независимом множестве покажем, что она является NP-трудной и принадлежит классу NP.
===Задача о независимом множестве является NP-трудной===
Для доказательства этого [[Сведение по Карпу|сведем по Карпу]] задачу <math>3-SAT3SAT</math> к нашей:
<math>3-SAT 3SAT \le le_{k} IND</math>
Пусть задана булева формула в <math>3-SAT3SAT</math>, в которой <math>k</math> скобок. Построим для нее неё соответствующий граф. Для каждой скобки нарисуем три вершины, соединим их попарно ребрами рёбрами и подпишем их именами соответствующих переменныхлитералов. Так же соединим ребрами рёбрами пары вершин вида <math>x,\overline{neg x}</math>.
<math>(\overline{neg x}\lor y\lor z)\land (x \lor y \lor \overline{neg z}) \to</math>[[Файл:ExampleIND_GRAPH.jpgpng]] Докажем, что формула выполнима тогда и только тогда, когда в соответствующем графе есть независимое множество из <math>k</math> вершин. Пусть формула выполнима, тогда в каждой скобке есть хотя бы один литерал, принимающий значение “истина”. Выберем соответствующую ему вершину в графе. Полученное множество вершин является независимым, так как рёбрами соединены только те вершины, которые соответствуют литералам из одной скобки (а мы выбирали только один литерал из каждой скобки), а так же вершины вида <math>x,\neg x</math>, соответствующие литералы которых не могут одновременно принимать значение “истина”. Пусть теперь в графе есть независимое множество, размера <math>k</math>. Тогда в каждой тройке вершин, соответствующих некоторой скобке, выбрана ровно одна вершина. Установим значение соответствующего литерала “истина”. Это можно сделать, так как нет рёбер между вершинами вида <math>x,\neg x</math>. Тогда в каждой скобке, будет хотя бы один литерал, имеющий значение “истина”, значит вся формула будет принимать значение “истина”. Построение по формуле соответствующего графа можно сделать за полиномиальное время.
===Задача о независимом множестве принадлежит классу NP===
В качестве сертификата возьмем набор из <math>k</math> вершин. За время <math>O(k^2)</math> можно проверить, является ли данное множество вершин независимым.
[[Категория:NP]]
