Сходимость цепных дробей

Теорема:

Для любой последовательности [math]a_0, a_1, \cdots[/math], удовлетворяющей условию [math]a_0\in\mathbb{Z}; a_i\in\mathbb{N}, i\gt 0[/math], последовательность подходящих дробей для цепной дроби [math]\langle a_0, a_1,\cdots\rangle[/math] имеет предел.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмём нечётное [math]n[/math]. Для него верно [math]P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n =(-1)^{n+1}=1\gt 0[/math]. Тогда [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}[/math]. Аналогично [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}[/math]. Также верно, что [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}[/math] и [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}=\frac{1}{Q_{n+1}Q_n}[/math]. Вычитая одно из другого получаем [math]\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{Q_{n+1}-Q_{n-1}}{Q_{n-1}Q_nQ_{n+1}}\gt 0[/math]. Получаем, что последовательность из подходящих дробей с чётным номером возрастает. Аналогично последовательность из подходящих дробей с нечётным номером убывает. Следовательно последовательность подходящих дробей с чётным номером ограничена сверху, а с нечётным ограничена снизу. Значит они имеют предел. Но [math]\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}=\frac{1}{Q_{n-1}Q_n}\rightarrow 0[/math], значит эти пределы совпадают.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Для любого вещественного числа [math]\alpha[/math] можно построить цепную дробь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]a_0=[\alpha][/math]. Далее [math]\alpha_1=\frac{1}{\alpha-a_0}[/math]. И определим все числа: [math]a_i=[\alpha_i][/math] и [math]\alpha_i=\frac{1}{\alpha_{i-1}-a_{i-1}}[/math]. Последовательность подходящих дробей имеет предел. Докажем, что он равен [math]\alpha[/math]. По тому какие мы брали [math]\alpha_i[/math] имеем [math]\alpha=[\alpha]+\frac{1}{[\alpha_1]+\frac{1}{[\alpha_2]+\cdots+\frac{1}{\alpha_k}}}[/math]. Теперь если взять вместо [math]\alpha_k[/math] целую часть, то есть [math][\alpha_k][/math], то дробь [math]\frac{1}{\alpha_k}[/math] увеличится, а дробь [math]\frac{1}{[\alpha_{k-1}]+\frac{1}{\alpha_k}}[/math] уменьшится. И так далее. Получим, что подходящая дробь [math]\frac{P_n}{Q_n}\lt \alpha[/math] при чётном [math]n[/math] и [math]\frac{P_n}{Q_n}\gt \alpha[/math] при нечётном [math]n[/math]. Значит пределом подходящих дробей будет [math]\alpha[/math].

[math]\triangleleft[/math]