Количество делителей — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «== Количество делителей == {{Определение |definition= Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определ…»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 3 промежуточные версии 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Количество делителей ==
+
[[Категория: Удалить]]
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':
 
<center><tex>
 
~\tau(a) = \sum_{d|a} 1
 
</tex></center>
 
}}
 
 
 
 
 
Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно просты]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:
 
<center><tex>
 
~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)
 
</tex></center>
 
 
 
Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',
 
то в силу мультипликативности
 
 
 
<center><tex>
 
~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})
 
</tex></center>
 
 
 
Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>.
 
 
 
Значит,
 
<center><tex>
 
~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)
 
</tex></center>
 

Текущая версия на 19:14, 4 сентября 2022