Изменения

__TOC__==Матрица перестановок=={{Определение |definition='''Ма́трица перестано́вкиМатрица перестановок''' (или англ. ''подстано́вкиPermutation matrix'') — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь один единичный элемент. Каждая матрица перестановки размера <math>n \times n</math> является матричным представлением перестановки порядка <math>n</math>одна единица.}}

Пусть дана перестановка <mathtex>\sigma</mathtex> порядка <mathtex>n</mathtex>:: <mathtex>\begin{pmatrix}1 && 2&& \ldots && n\\\sigma(1)&& \sigma(2) && \ldots && \sigma(n)\end{pmatrix}</mathtex>

Соответствующей матрицей перестановки является матрица <mathtex>n \times n</mathtex> вида:: <mathtex>P_\sigma = \begin{pmatrix}

\end{pmatrix},</mathtex>, где <mathtex>\mathbf{e}_{i}</mathtex> — двоичный вектор длины <mathtex>n</mathtex>, <mathtex>i</mathtex>-й элемент которого равен 1единице, а остальные равны нулю.

=== Пример Элементарная матрица перестановок===

Перестановка:{{Определение : |definition=Если матрица перестановок <tex>P<math/tex>\pi = \begin{pmatrix}1 && 2 && 3 && 4\\4 && 2 && 1 && 3\end{pmatrix}получена из единичной матрицы <tex>E</mathtex>перестановкой местами двух строк (или двух столбцов), то такая матрица называется '''элементарной матрицей перестановок''' (англ. ''Elementary permutation matrix''). }}

Соответствующая матрица:===Пример=== Пусть дана перестановка: <mathtex>P \pi = \begin{pmatrix}0 1 &2 & 0 3\\1 &3 & 0 && 1 2\end{pmatrix}</tex>. В соответствующей матрице в первом столбце единица будет стоять на первом месте, во втором столбе на третьем месте, в третьем на втором. Итого: <tex>P = \begin{pmatrix}0 && 1 && 0 && 0 \\1 && 0 && 0 && 0 1 \\0 && 0 && 1 && 0 \\\end{pmatrix}</mathtex>. Также эта матрица является элементарной матрицей перестановок, так как получена из единичной, перестановкой второго и третьего столбцов. ===Применение=== Благодаря своим свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре. Они используются в элементарных преобразованиях матриц, то есть домножение слева или справа на матрицу перестановок, есть перестановка любых строк или столбов соответственно.

* {{Утверждение|statement=Для любых двух перестановок <mathtex>\sigma, \pi</mathtex> их матрицы обладают свойством:*: <center><mathtex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma }</tex></center> где <tex>\circ </tex> — операция умножения перестановок.|proof=Рассмотрим <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{{P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j}}</tex>. Эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в <tex>i</tex>-той строчке на <tex>k</tex>-том столбце матрицы <tex>P_\sigma</tex> и в <tex>k</tex>-той строчке на <tex>j</tex>-том столбце матрицы <tex>P_\pi</tex> стоят единицы. <tex>{P_\sigma}_{i,k}= 1</mathtex>* Матрицы перестановки ортогональнызначит, что в перестановке <tex>\sigma</tex> на <tex>i</tex>-том месте стоит элемент <tex>k</tex>, и <tex>{P_\pi}_{k,j} = 1</tex> означает что в перестановке <tex>\pi</tex> на <tex>k</tex>-том месте стоит элемент <tex>j</tex>, а <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 1</tex> означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на <tex>i</tex>-том месте стоит элемент <tex>j</tex>. Но также известно, что <tex> (\pi \circ \sigma)(i) = \pi(\sigma(i)) = j </tex>. В результате если <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 1</tex>, то <tex>{P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j} = 1</tex>. Аналогичные рассуждения можно провести когда <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = 0</tex>, и также получим, что <tex>{P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j} = 0</tex>. Поэтому для каждой такой любых <tex>i,j</tex> справедливо <tex>{P_\sigma P_\pi}_{i,j} = {P_{\pi \circ \sigma}}_{i,j}</tex>, а раз такое равентсво выполняется, то <tex>P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}</tex>.}} {{Утверждение|statement=Для любой матрицы существует обратнаяперестановок <tex>P</tex> справедливо:*: <mathcenter><tex>P^T P = P P^T = E</tex></center> где <tex>E</tex> — единичная матрица.|proof=Рассмотрим <tex>{(P P^T)}_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{(P)}_{ik} {(P^T)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ik} {(P)}_{jk} = {\delta}_{ij} = {E} </tex> Теперь в обратную сторону <tex>P_{(P^T P)}_{ij} = \sum\sigmalimits_{k = 1}^{n}{(P^T)}_{ik} {-(P)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ki} {(P)}_{kj} = {\delta}_{ij} = P_{E} </tex>где <tex> {\sigmadelta}_{ij} </tex> — символ Кронекера.  Отсюда следует, что <tex> P^T=P^{-1} </tex>, так как по определению обратной матрицы <tex> PP^{-1}=P^{-1}P = E </mathtex>. }} {{Утверждение|statement=При умножение слева матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу <tex>A</tex> происходит перестановка <tex> {i} </tex>-й и <tex> {j} </tex>-й строк матрицы <tex>A</tex>. * Умножение произвольной справа матрицы перестановок <tex> {P}_{ij} </tex> на матрицу <tex>A</tex> приводит к перестановке <tex> {i} </tex>-го и <tex> {j} </tex>-го столбцов матрицы <tex>A</tex>.|proof=Рассмотрим сначала умножение слева, т.е. матрицу <tex> {P}_{ij}{A} </tex>, которую обозначим <tex> {B} = {b}_{kl} </tex>. Посчитаем чему равны элементы этой матрицы: <tex> {b}_{kl} = {(\ 0\ \ldots\ 0\ 1\ 0\ \ldots\ 0\ )}\begin {pmatrix} {a}_{1l}\\{a}_{2l}\\\vdots\\{a}_{ml}\end {pmatrix} = \begin {cases}{a}_{kl}, & k \ne i,j,\\{a}_{jl}, & k = i,\\{a}_{il}, & k = j.\end {cases} </tex> Действительно, по определению матрицы перестановок единица в строке стоит на <mathtex>M{k} </tex>-м месте, если , <tex> {k \ne i,j} </mathtex> , на перестановочную соответственно меняет <tex> {j} </tex>-м месте, если <tex> {k = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex>-м месте, если <tex> {k = j} </tex>. Итак, если <tex> {k \ne i,j} </tex>, то <tex> {k} </tex>-я строка матрицы <tex>B</tex> просто совпадает с <tex> {k} </tex>-й строкойматрицы <tex>A</tex>. Далее, <tex> {i} </tex>-я строка матрицы <tex>B</tex> совпадает с <tex> {j} </tex>-й строкой матрицы <tex>A</tex>, инаоборот. Поэтому <tex>B</tex> получается из <tex>A</tex> перестановкой <tex> {i} </tex>-й и <tex> {j} </tex>-й строк. Теперь рассмотрим умножение справа. Пусть <tex> {B} = {A}{P}_{ij} </tex>. <tex> {b}_{kl} = {(\ {a}_{k1}\ {a}_{k2}\ \ldots\ {a}_{kn}\ )}\begin {pmatrix} 0\\\vdots\\0\\1\\0\\\vdots\\0\end {pmatrix} = \begin {cases}{a}_{kl}, & l \ne i,j,\\{a}_{kj}, & l = i,\\{a}_{ki}, & l = j.\end {cases} </tex> По определению матрицы перестановок единица в столбце стоит на <tex> {l} </tex>-м месте, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, на <tex> {j} </tex>-м месте, если <tex> {l = i} </tex>, и на <tex> {i} </tex>-м месте, если <tex> {l = j} </tex>.Итак, если <tex> {l \ne i,j} </tex>, то <tex> {l} </tex>-й столбец матрицы <tex>B</tex> просто совпадает с <tex> {l} </tex>-м столбцомматрицы <tex>A</tex>. Далее, <tex> {i} </tex>-й столбец матрицы <tex>B</tex> совпадает с <tex> {j} </tex>-м столбцом матрицы <tex>A</tex>, инаоборот. Поэтому <tex>B</tex> получается из <tex>A</tex> перестановкой <tex> {i} </tex>-го и <tex> {j} </tex>-го столбцов.}} '''Пример''' Пусть задана матрица перестановки <tex>P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}</tex>, которая соответствует перестановке <tex>\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}</tex>, и матрица <tex>A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}</tex>,  тогда перемножив получим:  * <tex>PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}</tex>, видно, что вторая и третья строки поменялись местами её столбцы. * Умножение перестановочной <tex>AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \\ \end{pmatrix}</tex>, видно, что второй и третий столбец поменялись местами.  {{Утверждение|statement=Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.|proof=Любая элементарная матрица перестановок является симметричной матрицей, следовательно <tex> \forall{i,j} : {a}_{ij} = {a}_{ji} </tex>. Отсюда следует, что <tex> {P} = {P^T} </tex>, а <tex> {P P^T} = {E} </tex>.}} {{Утверждение|statement=Матрица перестановок <tex>n</tex>-го порядка может быть представлена в виде произведения <tex>(n - 1)</tex> элементарных матриц перестановок <tex>{(n > 2)}</tex>.|proof=Обозначим <tex>{t}_{ij}</tex> — элементарную матрицу, полученную из единичной путем изменения <tex>i</tex>-й и <tex>j</tex>-й строк. Рассмотрим матрицу перестановок <tex> P = \begin {pmatrix} {a}_{11} & {a}_{12} & \ldots & {a}_{1n}\\{a}_{21} & {a}_{22} & \ldots & {a}_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\{a}_{n1} & {a}_{n2} & \ldots & {a}_{nn}\end {pmatrix}</tex>  Возьмем <tex> {{a}_{ij} \ne 0} </tex> и перестановками строк (домножением соответствующей элементарной матрицей слева) или столбцов (домножением соответствующей элементарной матрицей справа) перемещаем его на произвольную первое место. Так как в каждой строке или столбце только одна единица, то получим: <mathtex>M\begin {pmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0\\0 & {a}_{22}' & \ldots & {a}_{2n}'\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & {a}_{n2}' & \ldots & {a}_{nn}'\end {pmatrix}</mathtex> меняет местами строки в и так далее, пока не получится единичной матрицы. В итоге: <tex> t_1 \ldots t_kAt_{k+1} \ldots t_{k+l} = E </tex>.  Все элементарные матрицы обратимы и обратная к элементарной матрице — это тоже элементарная матрица, следовательно: <tex> A = t_k^{-1} \ldots t_1^{-1}Et_{k+l}^{-1} \ldots t_{k+1}^{-1} = t_k^{-1} \ldots t_1^{-1}t_{k+l}^{-1} \ldots t_{k+1}^{-1} </tex>. Заметим, что с каждым шагом мы домножаем на одну элементарную матрицу перестановок, следовательно всего будет <mathtex>M(n - 1) </mathtex>таких матриц.}} == См. также==* [[Умножение перестановок, обратная перестановка, группа перестановок]] == Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_перестановки Википедия — Матрица перестановки]*[http://portal.tpu.ru/SHARED/k/KONVAL/Sites/Russian_sites/1/23.htm Матрица перестановки]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_matrix Wikipedia — Permutation matrix]* Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. стр. 2, 19. [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика]][[Категория: Свойства комбинаторных объектов]]