Метод четырёх русских для умножения матриц

Задача:

Дано две квадратных матрицы [math]A_{[n \times n]}[/math] и [math]B_{[n \times n]}[/math], состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю [math]2[/math].

Простое решение

Если мы будем считать произведение матриц [math]C = A \cdot B[/math] по определению [math]\left(c_{i, j} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k}b_{k,j}\right)[/math], то сложность работы алгоритма составит [math]O(n^3)[/math] — каждый из [math]n^2[/math] элементов результирующей матрицы [math]C[/math] вычисляется за время, пропорциональное [math]n[/math].

Сейчас будет показано, как немного уменьшить это время.

Сжатие матриц

Для выполнения сжатия матриц выполним следующий предподсчёт : для всех возможных пар двоичных векторов длины [math]k[/math] подсчитаем и запомним их скалярное произведение по модулю [math]2[/math].

Возьмём первую матрицу. разделим каждую её строку на куски размера [math]k[/math]. Для каждого куска определим номер двоичного вектора, который соответствует числам, находящимся на этом куске. Если кусок получился неравным по длине [math]k[/math](последний кусок строки), то будем считать, что в конце в нём идут не влияющие на умножение нули. Получим матрицу [math]A'_{n \times \lceil\frac{n}{k} \rceil}[/math].

Аналогично поступим с матрицей [math]B[/math], вместо строк деля столбцы. Получим матрицу [math]B'_{\lceil\frac nk\rceil\times n}[/math].

Теперь, если вместо произведения матриц [math]A[/math] и [math]B[/math] считать произведение новых матриц [math]A'[/math] и [math]B'[/math], воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы [math]C[/math] будет получаться уже за время, пропорциональное [math]\lceil \dfrac{n}{k} \rceil[/math] вместо [math]n[/math], и время произведения матриц сократится с [math]O(n^3)[/math] до [math]O(n^2 \cdot\dfrac nk) = O(\dfrac{n^3}{k}) [/math].

Оценка сложности алгоритма и выбор k

Оценим асимптотику данного алгоритма.

• Предподсчёт скалярных произведений работает за [math]O(2^{2k}k)[/math].
• Создание матриц [math]A'[/math] и [math]B'[/math] — [math]O(n^2)[/math].
• Перемножение полученных матриц — [math]O(\dfrac{n^3}{k})[/math].

Итого: [math]O(2^{2k}k) + O(\dfrac{n^3}{k})[/math]. Выбрав [math]k = \log n [/math], получаем требуемую асимптотику [math]O(n^2 \log n) + O(\dfrac{n^3}{\log n}) = O(\dfrac{n^3}{\log n})[/math]

Пример работы алгоритма

Рассмотрим работу алгоритма на примере перемножения двух матриц [math] A [/math] и [math] B [/math], где

[math] A = [/math] [math] \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math] , [math] B = [/math] [math] \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) [/math]

[math] k = \log_2 n = \log_2 4 = 2[/math], то предподсчитаем все скалярные произведения:

Для удобства каждому битовому вектору будет соответствовать двоичное число с ведущими нулями, т.е. в данном случае имеем числа [math] 00 [/math], [math] 01 [/math], [math] 10 [/math], [math] 11 [/math]. Ниже приведена таблица, в которой записаны все искомые произведения:

[math] \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & \textbf{00} & \textbf{01} & \textbf{10} & \textbf{11} \\ \hline \textbf{00} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \textbf{01} & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \textbf{10} & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \textbf{11} & 0 & 1 & 1 & 0\\ \hline \end{array} [/math]

Согласно соглашению относительно битовых векторов и двоичных чисел получим новые матрицы [math] A' [/math] и [math] B' [/math]:

[math] A' = [/math] [math] \left(\begin{array}{cccc} 01 & 11 \\ 01 & 00 \\ 11 & 01 \\ 10 & 01 \end{array}\right) [/math] , [math] B' = [/math] [math] \left(\begin{array}{cccc} 10 & 00 & 01 & 11 \\ 10 & 01 & 10 & 01 \end{array}\right) [/math]

Перемножим эти матрицы по модулю два с использованием нашего предпосчета:

[math] C = A' \times B' = [/math] [math] \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right) [/math]

Матрица [math] C [/math] — искомая.

Источники информации

• Gregory V. Bard — Accelerating Cryptanalysis with the Method of Four Russians. July 22, 2006. Страница 5