Изменения

|definition=Множество <tex>A</tex> '''<tex>\textbf m</tex>-сводится''' (является англ. ''many-one reducible'', ''m-reducible'') ко множеству <tex>B</tex>, если существует всюду определённая [[Вычислимые функции|вычислимая функция ]] <tex>f : x\in A\Leftrightarrow f(x)\in B</tex>, то есть <tex>f(A) \subset B</tex> и <tex>f(\overline{A}) \subset \overline{B}</tex>. Обозначение: <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex>.

|definition=<tex>A</tex> '''<tex>\textbf m</tex>-эквивалентно''' (англ. ''many-one equivalent'', ''m-equivalent'') <tex>B</tex>, если <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex> и <tex>B\le_leqslant_{m}A</tex>. Обозначение: <tex>A\equiv_{m}B</tex>.

# {{Утверждение|about=рефлексивность|statement=<tex>A\le_leqslant_{m}A</tex>.#*'''Доказательство:''' |proof=<tex>f(x)=x</tex>.# }} {{Утверждение|about=разрешимость|statement=Если <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex> и <tex>B</tex> разрешимо, то <tex>A</tex> разрешимо.#*'''Доказательство:''' |proof=Пусть <tex>p</tex> — программа-разрешитель для <tex>B</tex>. Тогда для любого <tex>x\in A</tex> разрешитель должен вернуть значение <tex>p(f(x))</tex>.# }} {{Утверждение|about=перечислимость|statement=Если <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex> и <tex>B</tex> перечислимо, то <tex>A</tex> перечислимо.#*'''Доказательство:''' |proof=Аналогично предыдущему свойству.# }} {{Утверждение|about=транзитивность|statement=Если <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex> и <tex>B\le_leqslant_{m}C</tex>, то <tex>A\le_leqslant_{m}C</tex>.#*'''Доказательство:''' |proof=Если <tex>f:A\to B</tex> и <tex>g:B\to C</tex>, то <tex>m</tex>-сводящая функция <tex>h:A\to C</tex> выглядит так <tex>h(x) = g(f(x))</tex>.}}

Если <tex>A\le_leqslant_{m}B</tex> и <tex>A</tex> неразрешимо, то <tex>B</tex> неразрешимо.

Например:===Примеры применения===* [[{{main|Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста|неразрешимость проблемы соответствий Поста]].Примеры неразрешимых задач: задача о замощении}}

Язык <tex>L</tex> '''сводится по Тьюрингу''' (является англ. ''Turing reducible'') к языку <tex>M</tex>, если язык <tex>ML</tex> является разрешимым с использованием <tex>LM</tex> как оракула, обозначается как <tex>L \le_T leqslant_T M</tex>.

|definition=Язык <tex>L</tex> '''эквивалентен по Тьюрингу''' (англ. ''Turing equivalent'') языку <tex>M</tex>, если <tex>L \le_T leqslant_T M</tex> и <tex>M \le_T leqslant_T L</tex>, обозначается как <tex>L \equiv_T M</tex>.

Обозначим за <tex>\mathcal{D}_T </tex> множество классов эквивалентности языков по отношению <tex>\equiv_T</tex>, это множество будет множеством Т<tex>T</tex>-степеней (тьюринговых степеней).

{{Определение: Т|definition='''<tex>T</tex>-степенью языка <tex>L </tex>''' (англ. ''Turing degree'') называется его класс эквивалентности по отношению <tex>\equiv_T</tex>, то есть <tex>\mathrm{deg}_T(L) = \{ M \mid L \equiv_T M \}</tex>.}}

На Т<tex>T</tex>-степенях можно ввести частичный порядок: для <tex>d_1, d_2 \in \mathcal{D}_T, d_1 \le leqslant d_2</tex>, если для каких-то <tex>L \in d_1, M \in d_2: L \le_T leqslant_T M</tex>, определение корректно, так как порядок не будет зависеть от выбора представителя Т<tex>T</tex>-степени.

* <tex>\mathrm{R} </tex> — минимальный элемент в частичном порядке на Т<tex>T</tex>-степенях. Очевидно из того, что класс разрешимых языков замкнут по использованию разрешимого языка в качестве оракула.* Любая пара Т<tex>T</tex>-степеней <tex>d_1, d_2 \in \mathcal{D}_T </tex> имеет наименьшую верхнюю границу <tex>d_1 \lor d_2 \in \mathcal{D}_T</tex>.

Обозначим за <tex>H </tex> язык программ, останавливающихся на пустом входе. Обозначим за <tex>H^f </tex> язык программ, использующих <tex>f </tex> в качестве оракула и останавливающихся на пустом входе.

* <tex>f <_T H^f </tex> * Если <tex>f \le_T leqslant_T g</tex>, то <tex>H^f \le_T leqslant_T H^g</tex>

Тогда тьюринговым {{Определение|definition= '''Тьюринговым скачком Т<tex>T</tex>-степени <tex>d </tex>''' (англ. ''Turing jump'') называется Т<tex>T</tex>-степень языка <tex>H^L</tex>, где <tex>L </tex> — произвольный язык в <tex>d</tex>. Заметим, что если L \equiv_T M, то H^L \equiv_T H^M, поэтому определение корректно. Оператор тьюрингова скачка обозначим как J : \mathcal{D}_T \to \mathcal{D}_T.

Заметим, что если <tex>L \equiv_T M</tex>, то <tex>H^L \equiv_T H^M</tex>, поэтому определение корректно. Оператор тьюрингова скачка обозначим как <tex>J : \mathcal{D}_T \to \mathcal{D}_T</tex>. == Литература См. также ==* [[Примеры неразрешимых задач: задача о выводе в полусистеме Туэ| Задача о выводе в полусистеме Туэ]]* [[Примеры неразрешимых задач: проблема соответствий Поста | Проблема соответствий Поста]]* [[Примеры неразрешимых задач: задача о замощении | Задача о замощении]]* [[Неразрешимость исчисления предикатов первого порядка]] == Источники информации ==

* [http://www.personal.psu.edu/t20/notes/topics-s05.pdf Topics in Logic and Foundations]* ''Верещагин Н., Шень А.'' — '''Вычислимые функции''', 2-е изд. — МЦНМО, 2002, стр. — С. 64. — ISBN 5-900916-36-7* ''P. Odifreddi'' — '''Classical recursion theory'''. — Elsivier, 1992. — ISBN 0-444-87295-7