Изменения

<tex>\mathrm{LSAT} =\{\langle\phivarphi,y\rangle | \mid \exists x: x\le_leqslant_{lex}y, \phivarphi(x) = 1\}</tex>, где <tex> \varphi </tex> {{---}} [[Определение_булевой_функции | булева формула]] из <tex>n</tex> переменных, <tex>x, y \in \{0,1\}^{n} </tex> и отношение <tex> \leqslant_{lex} </tex> задает [[Лексикографический порядок | лексикографический порядок]].

|statement=<tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPC}</tex>.

#Очевидно, что <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NP}</tex>(в качестве [[Классы_NP,_coNP,_Σ₁,_Π₁#.D0.9E.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F.2C_.D1.81.D0.B2.D1.8F.D0.B7.D1.8C_.CE.A3.E2.82.81_.D0.B8_NP|сертификата]] можно запросить <tex>x</tex>).#[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи | Сведём ]] <tex>\mathrm{SAT}</tex> к <tex>\mathrm{LSAT}</tex>. Для этого рассмотрим отображение <tex>\phi varphi \mapsto \langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle</tex>, где <tex>m|\varphi|</tex> — количество различных аргументов переменных в формуле <tex>\phivarphi</tex>. Ясно, что данное преобразование можно сделать за полиномиальное время. Теперь докажем, что сведение верное. #*Если <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>, то формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, а значит <tex>\exists x: x \le_leqslant_{lex} 1^m{|\varphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Такой <tex> x </tex> cуществует, потому что формула удовлетворима и любой вектор длины <tex> |\varphi| </tex> меньше либо равен единичному, значит мы переберем всевозможые вектора. Следовательно, <tex>\langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.#*Если <tex>\langle \phivarphi, 1^m{|\varphi|}\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>, то <tex>\exists x: x \le_leqslant_{lex} 1^m{|\varphi|}, \phivarphi(x)=1</tex>. Значит формула <tex>\phivarphi</tex> удовлетворима, и <tex>\phi varphi \in \mathrm{SAT}</tex>.:Таким образом, <tex>\mathrm{SAT } \le leqslant \mathrm{LSAT}</tex>. Но [[Теорема Кука | по теореме Кука ]]<tex>\mathrm{SAT } \in \mathrm{NPC}</tex>, а значит для любого <tex>\forall L \in \mathrm{NP } </tex> выполнено <tex> L \; L leqslant \le mathrm{SAT}</tex>. Тогда в силу транзитивности <tex>\forall L \in \mathrm{NP } \; L \le leqslant \mathrm{LSAT}</tex>, то есть <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPH}</tex>.Итого , мы доказали, что <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPH}</tex> и <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NP}</tex>. Тогда по определению <tex>\mathrm{LSAT } \in \mathrm{NPC}</tex>.

|statement=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}, y<_{lex}z</tex>. Тогда <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.|proof=<tex>\langle\phivarphi,y\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда <tex>\exists x: x\le_leqslant_{lex}y, \phivarphi(x) = 1</tex>. Так как <tex>y<_{lex}z</tex>, то <tex>\exists x: x<_{lex}z, \phivarphi(x) = 1</tex>, следовательно <tex>\langle\phivarphi,z\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>.

<tex>\mathrm{NPC } \cap \mathrm{SPARSE } \ne \varnothing \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.|proof=Пусть <tex>S \in \mathrm{NPC } \cap \mathrm{SPARSE}</tex>.

Так как <tex>S\in \mathrm{NPC}</tex>, и <tex>\mathrm{LSAT } \in NP\mathrm{NPC}</tex>, то существует полиномиальная функция сведения <tex>f</tex> такая, что <tex>\langle \phivarphi, y \rangle \in \mathrm{LSAT } \iff Leftrightarrow f(\langle \phivarphi, y \rangle) \in S</tex>.

Так как функция <tex>f</tex> работает полиномиальное время, и <tex>|\phi|=|y|</tex>, то <tex>f(\langle\phivarphi,y\rangle) \le leqslant q(|\phivarphi|)</tex>, где <tex>q</tex> — полином.<tex>S\in \mathrm{SPARSE}</tex>. Следовательно, следовательно <tex>\forall n \; |S \cap \Sigma^n|\le leqslant p(n)</tex>, где <tex>p</tex> — некоторый полином.

Тогда <tex>|\{x\in S\, mid |x| \leqslant q(|\, varphi|x)\}| = \le displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\phivarphi|)}|S \cap \}Sigma^i| \le leqslant \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{q(|\phivarphi|)} p(i) = r(|\phivarphi|)</tex>, где <tex>r</tex> — также полином.

Опишем алгоритм для нахождения лексиграфически лексикографически минимальной строки <tex>x</tex>, удовлетворяющей формулу формуле <tex>\phivarphi</tex>.

Пусть <tex>n=|\phivarphi|, r=r(|\phivarphi|)</tex>. Изначально область поиска для <tex>x</tex> это — все строки длины <tex>n</tex>. Опишем одну итерацию поиска.

Разобьём текущее множество строк на <tex>r+1</tex> подотрезок примерно равной длины. Обозначим концы полученных подотрезков <tex>w_0,\ldots ,w_{r+1}</tex>...,И <tex>w_0 < w_1 < \ldots < w_{r+1}</tex>. Пусть теперь <tex>z_i=f(\langle\phivarphi,w_i\rangle)</tex>.

Из леммы (2 ) мы знаем, что, начиная с некоторого <tex>il</tex>, все пары <tex>\langle\phivarphi, w_iw_l\rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>. Тогда по сведению <tex>z_j \in S</tex> для всех <tex>j\ge igeqslant l</tex>.

# <tex>\exists i \ne j \, z_i=z_j</tex> для некоторого <tex> j > i </tex>. Строки <tex>z_i</tex> и <tex>z_j</tex> либо обе лежат в <tex>S</tex>, либо обе не лежат в <tex>S</tex>. Если <tex>z_i, z_j \in S</tex>, то по сведению <tex> \langle \varphi, w_i \rangle, \langle \varphi, w_j \rangle \in \mathrm{LSAT}</tex>, то есть получаем <tex> x \leqslant w_i < w_j </tex>. Тогда по вышеуказанной причине <tex>x\notin [(w_i, w_j]</tex>. Значит мы можем исключить этот отрезок полуинтервал из рассматриваемого множества. Таким образом, мы удаляем не менее <tex>\frac dfrac 1{r+1}</tex> часть множества подстановок.# <tex>z_i \ne z_j \, \forall i \ne j</tex>. Как было показано выше, если <tex>x \in [w_0</tex> или <tex>, w_1]</tex> лежат в , то все <tex>Sz_i</tex>, то все последующие начиная с <tex>w_iz_1</tex> тоже , лежат в <tex>S</tex>, но тогда <tex>S</tex> содержит не менее <tex>r+1</tex> строку длины не более, чем <tex>q(|\phivarphi|)</tex>, что противоречит условию <tex>|\{x\in S\, |\, mid |x| \le leqslant q(|\phivarphi|)\}| \le leqslant r(|\phivarphi|)</tex>. Следовательно, <tex>x\notin[w_0,w_1]</tex>, то есть его можно убрать из рассмотрения. В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на <tex>\dfrac 1{r+1}</tex> её размера.

В обоих случаях мы сузили область поиска как минимум на Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>\frac 1{r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное время. Если какая{{---}}то из них удовлетворила формуле <tex>\varphi</tex>, то <tex>x=\min(w_i), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\varphi</tex>. Иначе, <tex>x</tex> её размеране существует.

Будем повторять эту процедуру до тех пор, пока не останется не более <tex>r+1</tex> строки, которые мы можем проверить за полиномиальное Оценим времяработы нашего алгоритма. Если какая-то из них удовлетворила формулу После <tex>\phik</tex>, то итераций у нас останется не более <tex>x=min2^n\left(w_i1-\dfrac1{r+1}\right), w_i</tex> удовлетворяет <tex>\phi^k</tex>строк. Иначе, Оценим <tex>xk</tex> не существует.

Оценим время работы нашего алгоритма. После <tex>k</tex> итераций у нас останется не более Нам нужно, чтобы <tex>2^n\left(1-\frac1dfrac1{r+1}\right)^k\simeq 1</tex> строк. Оценим Отсюда <tex>k=O(rn)</tex>(это можно получить, выразив <tex>k</tex> через <tex>n</tex> и <tex>r</tex> и воспользовавшись [[Формула Тейлора для произвольной функции | формулой Тейлора]] для логарифма).

<tex>2^n(1-\frac1{r+1})^k \simeq 1</tex>. Отсюда <tex>k=O(rn)</tex>. Таким образом, мы можем разрешить язык <tex>\mathrm{LSAT}</tex> за полиномиальное время, найдя лексиграфически лексикографически минимальную строку, удовлетворяющую формулуформуле, и сравнив её с нашим аргументом. Так как <tex>\mathrm{LSAT}\in \mathrm{NPC}</tex>, то мы можем решить любую задачу из <tex>\mathrm{NP}</tex> за полиномиальное время, а значит <tex>\mathrm{P}=\mathrm{NP}</tex>.