Недетерминированные конечные автоматы

Определение:

Недетерминированный конечный автомат (НКА) (англ. Nondeterministic finite automaton, NFA) — пятёрка [math]\langle \Sigma , Q, s \in Q, T \subset Q, \delta : Q \times \Sigma \to 2^Q \rangle[/math], где [math]\Sigma[/math] — алфавит, [math]Q[/math] — множество состояний автомата, [math]s[/math] — начальное состояние автомата, [math]T[/math] — множество допускающих состояний автомата, [math]\delta[/math] — функция переходов. Таким образом, единственное отличие НКА от ДКА — существование нескольких переходов по одному символу из одного состояния.

Процесс допуска

НКА допускает слово [math] \alpha [/math], если существует путь из начального состояния в какое-то терминальное, такое что буквы, выписанные с переходов на этом пути по порядку, образуют слово [math] \alpha [/math]. Теперь это опишем более формально.

Определение:

Мгновенное описание (англ. snapshot) — пара [math] \langle p, q \rangle [/math], [math] p \in Q [/math], [math] q \in \Sigma^*[/math].

Определим некоторые операции для мгновенных описаний.

Определение:

Говорят, что [math] \langle p, \beta \rangle[/math] выводится за один шаг (англ. directly yields) из [math]\langle q, \alpha \rangle [/math], если: [math]\alpha = c\beta[/math]; [math]p \in \delta (q, c)[/math]. Это также записывают так: [math]\langle q, \alpha \rangle \vdash \langle p, \beta \rangle[/math].

Определение:

Рефлексивно-транзитивное замыкание отношения [math] \vdash [/math] обозначается как [math] \vdash^*[/math]. И говорят, что [math] \langle p, \beta \rangle[/math] выводится за ноль и более шагов (англ. yields) из [math]\langle q, \alpha \rangle [/math], если [math]\langle q, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \beta \rangle[/math].

Определение:

НКА допускает (англ. accepts) слово [math]\alpha[/math], если [math]\exists t \in T: \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle[/math].

Язык автомата

Определение:

Множество слов, допускаемых автоматом [math] \mathcal{A} [/math], называется языком НКА [math] \mathcal{A} [/math]. [math]L(\mathcal{A}) = \lbrace w \ | \ \exists t \in T : \langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle \rbrace [/math]. В этом случае также говорят, что автомат [math] \mathcal{A} [/math] распознаёт (англ. recognize) язык [math] L [/math].

Язык НКА является автоматным языком, так как для любого НКА можно построить эквивалентный ему ДКА, а значит, вычислительная мощность этих двух автоматов совпадает.

Пример

Это НКА, который распознает язык из алфавита [math] \lbrace 0, 1 \rbrace [/math], где на четвертой с конца позиции стоит 0.

Алгоритм, определяющий допустимость автоматом слова

Постановка задачи

Пусть заданы НКА и слово [math]w[/math]. Требуется определить, допускает ли НКА данное слово.

Алгоритм

Определим множество всех достижимых состояний из стартового по слову [math] \alpha [/math] : [math] R(\alpha) = \lbrace p \ | \ \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \rbrace [/math].

Заметим, что если [math] \exists t \in T : t \in R(w) [/math], то слово допускается, так как [math] \langle s, w \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle [/math] по определению [math] R(w) [/math]. Таким образом, алгоритм состоит в том, чтобы построить [math] R(w) [/math].

Очевидно, что [math] R(\varepsilon) = \lbrace s \rbrace [/math]. Пусть мы построили [math] R(\alpha) [/math], построим [math] R(\alpha c)[/math], где [math] c \in \Sigma [/math]. Заметим, что [math] R(\alpha c) = \lbrace q \ | \ q \in \delta(p, c), p \in R(\alpha) \rbrace [/math], так как

[math] \langle s, \alpha \rangle \vdash^* \langle p, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle p, c \rangle \vdash \langle q, \varepsilon \rangle \Rightarrow \langle s, \alpha c \rangle \vdash^* \langle q, \varepsilon \rangle [/math], [math] \forall q \in \delta(p, c) [/math].

Теперь, когда мы научились по [math] R(\alpha) [/math] строить [math] R(\alpha c)[/math], возьмем [math] R(\varepsilon) [/math] и будем последовательно вычислять [math]R(w[1 \ldots k])[/math] для [math] k=1 \ldots |w| [/math].

Таким образом, мы получим [math]R(w)[/math], и всё, что осталось — проверить, есть ли в нём терминальное состояние.

Псевдокод

bool accepts([math]\langle \Sigma, Q, s, T, \delta \rangle[/math]: Automaton, [math]\mathtt{w}[/math]: String):
  [math] R_0 = \lbrace s \rbrace [/math]
  for i = 1 to [math]\mathtt{w}[/math].length
     [math] R_i = \varnothing [/math]
     for ([math] q [/math] in [math] R_{i - 1} [/math]) 
         [math] R_i = R_i \cup \delta(q, \mathtt{w}[i]) [/math]
  return [math] R_{|\mathtt{w}|} \cap T \neq \varnothing [/math]

Время работы алгоритма: [math] \mathop O(|w|\sum\limits_{t \in Q} \sum\limits_{c \in \Sigma} |\delta(t, c)|) [/math].

См. также

• Детерминированные конечные автоматы
• Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона

Источники информации

• Ю. Громкович Теоретическая информатика. Введение в теорию автоматов, теорию вычислимости, теорию сложности, теорию алгоритмов, рандомизацию, теорию связи и криптографию: Пер. с нем. — СПб.:БХВ-Петербург, 2010. — С. 87. — ISBN 978-5-9775-0406-5
• John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Second edition. P. 71. ISBN 0-201-02988-X
• Wikipedia — Nondeterministic finite automaton