Независимые случайные величины — различия между версиями
Nechaev (обсуждение | вклад) м (→Литература и источники информации) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показано 20 промежуточных версий 6 участников) | |||
Строка 3: | Строка 3: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|id=def1 | |id=def1 | ||
− | |definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''', если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) | + | |definition=Cлучайные величины <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются '''независимыми''' (англ. ''independent''), если <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> [[Независимые события|независимы]].<br> <tex>P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex> |
}} | }} | ||
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой. | Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой. | ||
Строка 10: | Строка 10: | ||
{{Определение | {{Определение | ||
|id=def2 | |id=def2 | ||
− | |definition=Случайные величины <tex>\xi_1, | + | |definition=Случайные величины <tex>\xi_1, \ldots ,\xi_n</tex> называются '''независимы в совокупности''' (англ. ''mutually independent''), если события <tex>\xi_1 \leqslant \alpha_1, \ldots ,\xi_n \leqslant \alpha_n</tex> независимы в совокупности. |
}} | }} | ||
+ | |||
== Примеры == | == Примеры == | ||
− | ==== | + | ==== Карты ==== |
− | + | ||
− | + | Пусть есть колода из <tex>36</tex> карт (<tex>4</tex> масти и <tex>9</tex> номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины: | |
+ | |||
+ | <tex>\xi</tex> {{---}} масть вытянутой карты : <tex>0</tex> {{---}} червы, <tex>1</tex> {{---}} пики, <tex>2</tex> {{---}} крести, <tex>3</tex> {{---}} бубны | ||
+ | |||
+ | <tex>\eta</tex>: принимает значение <tex>0</tex> при вытягивании карт с номиналами <tex>6, 7, 8, 9, 10</tex> или <tex>1</tex> при вытягивании валета, дамы, короля или туза | ||
+ | |||
+ | Для доказательства того, что <tex>\xi, \eta</tex> независимы, требуется рассмотреть все <tex>\alpha,\beta</tex> и проверить выполнение равенства: | ||
+ | <tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex> | ||
+ | |||
+ | Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>, остальные рассматриваются аналогично: | ||
− | + | <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex> | |
− | + | <tex>P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \cdot </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{9} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{36} </tex> | |
==== Тетраэдр ==== | ==== Тетраэдр ==== | ||
− | Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \ | + | Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): <tex>\Omega = \{0, 1, 2, 3\}</tex>. <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{2} \right \rfloor</tex>. |
− | Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = 1 | + | Рассмотрим случай: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 1</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>. |
Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы. | Для этих значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы. | ||
− | Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i | + | Заметим, что если: <tex>\xi (i) = i \bmod 3</tex>, <tex>\eta(i) = \left \lfloor \dfrac{i}{3} \right \rfloor</tex>, то эти величины зависимы: положим <tex>\alpha = 0, \beta = 0</tex>. Тогда <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex> , <tex>P(\eta \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{3}{4} </tex> , <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{4} </tex> <tex> \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0)</tex>. |
+ | |||
+ | ==== Честная игральная кость ==== | ||
+ | Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: <tex>\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</tex>, <tex>\xi (i) = i \bmod 2</tex>, <tex>\eta (i) = \dfrac{\mathcal {b} i}{3 \mathcal {c}}</tex>. | ||
+ | Для того, чтобы показать, что величины <tex>\xi, \eta</tex> зависимы, надо найти такие <tex>\alpha, \beta</tex>, при которых | ||
+ | <tex>P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)</tex> | ||
+ | |||
+ | При <tex>\alpha = 0, \beta = 1</tex>: | ||
+ | |||
+ | <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{2}{6} </tex> <tex> = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{3} </tex>, <tex>P(\xi \leqslant 0) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{1}{2} </tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = </tex> <tex dpi = "160" > \dfrac{5}{6} </tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)</tex>, откуда видно, что величины не являются независимыми. | ||
− | == | + | ==См.также== |
− | + | *[[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие]] | |
+ | *[[Дискретная случайная величина]] | ||
+ | *[[Математическое ожидание случайной величины]] | ||
− | == Источники == | + | == Источники информации == |
− | [http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html Независимость случайных величин] | + | *[http://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node38.html НГУ {{---}} Независимость случайных величин] |
− | [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B | + | *[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия {{---}} Независимость (теория вероятностей)] |
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] | ||
[[Категория: Теория вероятности]] | [[Категория: Теория вероятности]] |
Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022
Содержание
Определения
Определение: |
Cлучайные величины независимы. | и называются независимыми (англ. independent), если события и
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
Независимость в совокупности
Определение: |
Случайные величины | называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события независимы в совокупности.
Примеры
Карты
Пусть есть колода из
карт ( масти и номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:— масть вытянутой карты : — червы, — пики, — крести, — бубны
: принимает значение при вытягивании карт с номиналами или при вытягивании валета, дамы, короля или туза
Для доказательства того, что
независимы, требуется рассмотреть все и проверить выполнение равенства:Для примера рассмотрим
, остальные рассматриваются аналогично:
Тетраэдр
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью):
. , .Рассмотрим случай:
, . , , .Для этих значений
и события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.Заметим, что если:
, , то эти величины зависимы: положим . Тогда , , .Честная игральная кость
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»:
, , . Для того, чтобы показать, что величины зависимы, надо найти такие , при которыхПри
:, ,
, откуда видно, что величины не являются независимыми.
См.также
- Вероятностное пространство, элементарный исход, событие
- Дискретная случайная величина
- Математическое ожидание случайной величины