Ядро и образ линейного оператора

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y[/math] — линейный оператор. Ядром линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y[/math] — линейный оператор. Образом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}[/math] (множество значений)

Лемма:

Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.

Теорема (O ядре и базисе):

[math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]Ker\mathcal{A}[/math] — подпространство [math]X[/math] Шаг 1. Пусть [math]\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n[/math] [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] — базис [math]Ker\mathcal{A}[/math] [math](\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))[/math] Дополним [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] до базиса [math]X[/math], получим базис [math]\{e\}_{i = 1}^{n}[/math], где [math]n = \dim X[/math] Шаг 2. Докажем, что [math]Im\mathcal{A}[/math] — линейная оболочка [math]\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}[/math] Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n[/math] [math]\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}[/math] Шаг 3. Осталось доказать следующее: [math]\dim[/math] Л.О.[math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}[/math] Докажем от противного. Пусть [math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}[/math] — линейно зависимы [math]\Rightarrow[/math] существует нетривиальная линейная комбинация, что [math]\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)[/math] Пусть [math]z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n[/math] Рассмотрим [math]\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0[/math] в соответствии с [math](*)[/math] Получаем, что [math]z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i[/math], что противоречит выбору [math]z[/math] Значит, [math]\dim Im\mathcal{A} = n - k[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Функции от линейного оператора

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math]

[math]\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}[/math] (n раз)

[math] p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \ (\mathcal{A}^0 = J)[/math]

Если [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math], то переходим к квазиполиномам: [math]p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j[/math]

Источники

• Анин конспект. Гы