Изменения

|definition=Последовательность, в которой отношение двух соседних членов равно отношению многочленов <tex>A(n)</tex> степени <tex>k</tex>, где <tex>k > 0</tex> и <tex>n</tex> - порядковый номер члена последовательности, называется '''гипергеометрической'''(англ. 'Гипергеометрической'hypergeometric sequence'' называется последовательность, степени многочленов которой больше нуля).

Пусть последовательность <tex>a_0,a_1,...\ldots</tex> положительных чисел такова, что <tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=A\fraccfrac{n^k+\alpha_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\alpha_k}{n^k+\beta_1 \cdot n^{k-1}+...\ldots +\beta_k}(4.1)</tex> для всех достаточно больших <tex>n</tex>, причем <tex>\alpha_1 \ne \beta_1</tex>. Тогда <tex>a_n</tex> растет как <tex>a_n \sim cAc \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}(4.2)</tex> для некоторой постоянной <tex>c>0</tex>.<br>'''Замечание:''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы <tex>c</tex>. Действительно, умножив последовательность <tex>a_n</tex> на произвольную постоянную <tex>d > 0</tex>, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа <tex>c</tex> для которой увеличивается в <tex>d</tex> раз. 

Утверждение Рассмотрим предел <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. При <tex>a_n \sim c \cdot A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}</tex> для некоторого <tex>c</tex> данный предел будет существовать и равен <tex>c</tex>. С другой стороны, из определения существования предела<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Предел числовой последовательности]</ref> на бесконечности следует, что он равен некоторому <tex>c</tex>, то есть <tex>\lim\limits_{n \to \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}} = c</tex>. Из чего можно сделать вывод, что утверждение леммы эквивалентно тому, что существует предел <tex>\lim \limits_{n \fracto \infty} {\cfrac{a_n}{A^n \cdot n^{\alpha_1-\beta_1}}}</tex>. <br> Прологарифмировав, мы приходим к необходимости доказать существование предела <tex>\lim_lim\limits_{n \to \infty} {( \ln {a_n} - n \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\cdot \ln n)}</tex>. Для доказательства существования предела применим критерий Коши<ref>[http://nuclphys.sinp.msu.ru/mathan/p1/m0509.html Критерий Коши]</ref>, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C Фундаментальная последовательность]</ref>.  Перепишем отношение <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> в виде <tex>\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=A \cdot \cfrac{1 + \alpha_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \alpha_k \cdot n^{-k}}{1 + \beta_1 \cdot n^{-1} + \ldots + \beta_k \cdot n^{-k}}=A \cdot f\left(\cfrac{1}{n}\right)</tex>, где <tex>f(x)=\cfrac{1 + \alpha_1 \cdot x + \ldots + \alpha_k \cdot x^k}{1 + \beta_1 \cdot x + \ldots + \beta_k \cdot x^k}</tex>

Для доказательства существования предела (4.5) применим критерий Коши, т. е. будем доказывать, что рассматриваемая последовательность фундаментальна. Фундаментальность последовательности означает, что для любого Прологарифмировав отношение <tex>\epsilon>0cfrac{a_{n+1}}{a_n}</tex> существует такой номер N, что для всех n > N и всех положительных mполучаем

<tex>|\ln {a_{n+m}1} - \ln {a_n} - (n+m)= \ln A + n\ln A - f\left(\alpha_1 - \beta_1)\ln(cfrac{1}{n+m)+(\alpha_1-}\beta_1right)\ln n|<\epsilon</tex>, .

<tex>|\ln {a_{nf(x)=1 +m}} - \ln {a_n} - m\ln A - (\alpha_1 - \beta_1)\ln(ncdot x +m)\gamma \cdot x^2 +(\ldots </tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>\alpha_1-\beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению леммы)при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{\ln n|<alpha_1-\epsilonbeta_1}</tex>в асимптотике.Для логарифма функции <tex>f</tex> имеем

Перепишем отношение <tex>\frac{a_{nln f(x)=(\alpha_1-\beta_1) \cdot x+1}}\tilde{a_n\gamma}\cdot x^2 + \ldots</tex> в виде

Поэтому для некоторой постоянной <tex>C</tex> при достаточно маленьком <tex>x</tex> имеем <tex>|\frac{a_{n+1}}{a_n}=A\frac{1+ln f(x) - (\alpha_1 n^{-1}+...+\alpha_k n^{-k}}{1+beta_1) \cdot x|<C \beta_1 ncdot x^{-1}+2</tex>...+\beta_k В частности, если <tex>N</tex> достаточно велико, то <tex>&forall; n^{-k}}=Af>N</tex> получаем систему <tex>(\frac{1}{n}*)</tex>,

где<tex>\begin{equation*} \begin{cases} \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n} \right| < C \cdot \cfrac{1}{n^2}, \\  \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+1)^2}, \\  \ldots \\  \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+m} \right| < C \cdot \cfrac{1}{(n+m)^2}. \\ \end{cases}\end{equation*}</tex> Теперь интересующее нас выражение в левой части неравенства <tex>|\ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln {(n + m)} + (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \ln n| < &epsilon; </tex> можно оценить с помощью системы <tex>(*)</tex> и неравенства треугольника<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0 Неравенство треугольника]</ref>: <tex>\left| \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \cdot \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot ( \ln {(n+m)} - \ln n) \right| =</tex> <tex>= | \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - \ldots + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \cdot \ln A - </tex>

<tex>f- (x\alpha_1 - \beta_1)\cdot \sum\limits_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} +(\alpha_1 x+...+- \beta_1) \cdot \sum\alpha_k xlimits_{k=0}^k{m-1}\cfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1 x+...) \cdot (\ln {(n+m)} - \ln n) \Bigg| \beta_k x^k}leqslant</tex>

Прологарифмировав <tex>\leqslant \left| \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (4.7\alpha_1 - \beta_1), получаем \cdot \cfrac{1}{n} \right| + \left| \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \cdot \cfrac{1}{n+1} \right| +</tex>

<tex>\ln a_{n+1} - \ln a_n = \ln A + \ln f(\frac{1}{n})ldots</tex>.

Посмотрим на функцию <tex>+ \left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln fA - (x\alpha_1 - \beta_1)\cdot \cfrac{1}{n+m} \right| + \left| \alpha_1 - \beta_1 \right| \cdot \left| \sum\limits_{k=0}^{m-1} \cfrac{1}{n+k} - \ln {(n+m)} + \ln n \right| \leqslant</tex>. Выпишем начальные члены разложения функции f, определенной формулой (4.8), в ряд в точке 0:

<tex>f\leqslant C \cdot \left(x)=\cfrac{1}{n^2} +\cfrac{1}{(\alpha_1-\beta_1n+1)x+\gamma x^2} +...</tex> для некоторой константы <tex>\gamma</tex>. Это разложение - самый существенный элемент доказательства. Именно коэффициент <tex>ldots + \alpha_1 cfrac{1}{(n+m- 1)^2}\beta_1</tex>(отличный от нуля по предположению теоремыright) при линейном члене указывает на присутствие сомножителя <tex>n^{+ \left| \alpha_1-\beta_1}</tex> в асимптотике. Для логарифма функции f имеем <tex>\ln f(x)=(right| \cdot \alpha_1-left| \beta_1)x+sum\tildelimits_{k=0}^{m-1} \gammacfrac{1}x^2{n+...</tex>. Поэтому для некоторой постоянной C при достаточно маленьком x имеем <tex>|k} - \ln f{(xn+m) = (} + \alpha_1 - ln n \beta_1)xright|<Cx^2</tex>. В частности, если N достаточно велико, то <tex>&forall; n>N</tex>

Поскольку ряд <tex>|\ln a_sum\limits_{n+k=1} - ^{\ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) infty} \fraccfrac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших <tex>n}|<C /tex> можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\fraccfrac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n^2}, n+m]</tex>,

[[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.jpg|350px|thumb|right|График функции <tex>|\ln a_{n+2} - y = \ln a_cfrac{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1[x]}{</tex> на отрезке <tex>[n+1}|<C \frac{1}{(, n+1)^2}m]</tex>,]]

(Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> на этом же отрезке. Площадь под графиком функции <tex>\cfrac {1}{x}</tex> равна <tex>|\ln a_{(n+m)} - \ln a_{n}</tex>, площадь под графиком функции <tex>y = \cfrac{1}{x-1}</tex> равна <tex>\ln {(n+m-1)} - \ln A - {(\alpha_1 n- 1)}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>\beta_1) left| (\frac{1}ln {(n+m-1)}|<C - \fracln {(n-1)}) - \left( \ln {(n+m)^2}- \ln n \right) \right| =</tex>.

<tex>| = \ln a_{n+m} - \ln a_n - m \ln A - (\alpha_1 - \beta_1)( \ln {n+m} - \ln n)| = left| \ln a_{n+m} - \ln a_{n + m - 1} + \ln a_{n + m - 1} - ... + \ln a_{n + 1} - \ln a_n - m \ln A - left(\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} + (\alpha_1 - \beta_1) \sum_{k=0}^{m-1} \fraccfrac{1}{n+k} - (\alpha_1 - \beta_1)(\ln {n+m} - \ln nright)| \le | \ln a_{n+1} - \ln a_n - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n} | + | \ln a_{n+2} - \ln a_{n+1} - \ln A - (\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+1}| + ... + | \ln a_{n+m} - \ln a_{n+m-1} - \ln A - left(\alpha_1 - \beta_1) \frac{1}{n+m}| + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n | \le C(\frac{1}{n^2} + \fraccfrac{1}{(n+1)^2} + ... + \frac{1}{(n+m-1right)^2}) + | \alpha_1 - \beta_1 | | \sum_{k=0}^{m-1} \frac{1}{n+k} - \ln {n+m} + \ln n right|<</tex>.

Поскольку ряд <tex>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}</tex> сходится, первое слагаемое в правой части последнего неравенства при больших n можно сделать сколь угодно малым. Чтобы оценить второе слагаемое, заметим, что стоящая в нем сумма представляет собой площадь под графиком ступенчатой функции <tex>\frac{1}{[x]}</tex> на отрезке <tex>[n, n+m]</tex>, см рис. 4.1 [[Файл:InkedOiGdtVITsP10_LI.png]] (Здесь через <tex>[x]</tex> обозначена целая часть числа <tex>x</tex>, наибольшее целое число, не превосходящее <tex>x</tex>.) Эта площадь больше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x}</tex>, но меньше, чем площадь под графиком функции <tex>y = \frac{1}{x-1}</tex> равна <tex>left| \ln {n+m-1} - \ln {n - 1}</tex>. Таким образом, интересующая нас разность не превосходит <tex>|left(\ln {n+m-1} - \ln cfrac{n-1}) - (- \ln {n+m} + \ln nright)| = | \ln {1 - \frac{1}{n+m}} - \ln {1 - \frac{1}{n}}right| < |\ln {1 - C \frac{1}{n}}| < C cdot \fraccfrac{1}{n}</tex>.

== Примеры =='''Замечание:Пример.''' Предположения леммы не позволяют определить величину константы c. Действительно, умножив последовательность an на произвольную постоянную d > 0, мы получим новую последовательность с тем же отношением последовательных членов, константа c Рассмотрим производящую функцию для которой увеличивается в d раз[[Числа Каталана|чисел Каталана]]

<tex>A(s) =1 + s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + \ldots </tex> Возведя ее в квадрат и умножив результат на s, получим <tex>s \cdot A^2(s) = Примеры s + 2 \cdot s^2 + 5 \cdot s^3 + 14 \cdot s^4 + \ldots =A(s) - 1</tex>, что дает нам квадратное уравнение на производящую функцию <tex>s \cdot A^2(s) - A(s) + 1 =0,</tex> откуда <tex>A(s) = \cfrac {1 - \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s}</tex> Второй корень уравнения отбрасывается, так как <tex>\cfrac {1 + \sqrt {1 - 4 \cdot s}}{2 \cdot s} = \cfrac {1}{s} + \ldots</tex> содержит отрицательные степени <tex>s</tex> '''ПримерНайденная производящая функция позволяет найти явную форму для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].''' Для Согласно биному Ньютона <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Бином Ньютона]</ref> <tex>a_n = \cfrac {\cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {1}{2} \cdot \cfrac {3}{2} \cdot \ldots \cdot \cfrac {2 \cdot n - 1}{2} \cdot 4^{n + 1}}{2 \cdot (n + 1)!},</tex> откуда, умножая на числитель и знаменатель на <tex>n!</tex> и сокращая на <tex>2^{n + 1}</tex>, получаем <tex>a_n = \cfrac {(2 \cdot n)!}{n! \cdot (n + 1)!} = \cfrac {1}{n + 1} \cdot \dbinom {2 \cdot n}{n}</tex> Последняя формула дает и более простое рекурсивное соотношение для [[Числа Каталана|чисел Каталана имеем]]:

<tex>\fraccfrac{c_{n+1}}{c_n}=\fraccfrac{4n4 \cdot n +2}{n+2}=4\fraccdot \cfrac{n+\fraccfrac{1}{2}}{n+2}</tex>

Поэтому <tex>c_n \sim c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex> для некоторой постоянной <tex>c</tex>.

<tex>(a-s)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1-\fraccfrac{s}{a}\right)^{\alpha}=a^{\alpha}\cdot \left(1 - \fraccfrac{\alpha}{1!} \fraccdot \cfrac{s}{a} + \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{2!}\cdot {\left(\fraccfrac{s}{a}\right)^2} - \fraccfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot (\alpha-2)}{3!}\cdot \left(\fraccfrac{s}{a}\right)^3+...\ldots \right)</tex>.

Если <tex>\alpha</tex> — целое неотрицательное число, то ряд обрывается и вопроса об асимптотике не возникает. В противном случае , начиная с некоторого номера , все коэффициенты ряда имеют одинаковый знак. Для определения асимптотики мы можем воспользоваться предыдущей леммой при <tex>a_n=(-1)^n \fraccdot \cfrac{\alpha\cdot (\alpha-1)...\cdot \ldots \cdot (\alpha-n+1)}{n!\cdot {\alpha}^n}:</tex>

<tex>\fraccfrac{a_{n+1}}{a_n}=\fraccfrac{1}{a} \fraccdot \cfrac{n-\alpha}{n+1}</tex>

Поэтому <tex>a_n \sim c \cdot a^{-n} \cdot n^{-\alpha-1}</tex>. Например, коэффициенты функции <tex>-(1-4s4 \cdot s)^{\fracdfrac{1}{2}}</tex> ведут себя как <tex>c \cdot 4^n \cdot n^{-\fracdfrac{3}{2}}</tex>, и мы получаем повторный вывод ассимптотики для [[Числа Каталана|чисел Каталана]].

* [[Производящая функция Дирихле]]* [[Числа Каталана]] ==Примечания==

== Примечания ==<references/>