Симметричное отношение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавил больше примеров, указал источники и немного изменил порядок изложения материала.)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 10 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
В математике [[бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''', если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
+
[[бинарное отношение|Бинарное отношение]] <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex> называется '''симметричным''' (англ. ''symmetric binary relation''), если для каждой пары элементов множества <tex>(a, b)</tex> выполнение отношения <tex>a\,R\,b</tex> влечёт выполнение отношения <tex>b\,R\,a</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition =
 
|definition =
−
Отношение <tex>R</tex> симметрично, если <tex>\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</tex>.
+
Отношение <tex>R</tex> '''симметрично''', если <tex>\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a</tex>.
 
}}
 
}}
−
Отношение связи вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
+
Отношение достижимости вершин неориентированного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа]] симметрично.
−
В то время как отношение связи вершин ориентированного графа [[Антисимметричное отношение|антисимметрично]].
+
Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу <tex>A</tex>, что <tex> \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}</tex>.
 +
 
 +
Примером [[Антисимметричное отношение|антисимметричного отношения]] является отношение связи вершин направленного ациклического графа.
  
 
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
 
Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным).
Строка 13: Строка 15:
  
 
== Примеры симметричных отношений ==
 
== Примеры симметричных отношений ==
−
* Отношения '''эквивалентности''':
+
* Отношения '''[[Отношение эквивалентности|эквивалентности]]''':
 
** отношение ''равенства'' <tex>=\;</tex>
 
** отношение ''равенства'' <tex>=\;</tex>
 
** отношение ''сравнимости по модулю''
 
** отношение ''сравнимости по модулю''
Строка 23: Строка 25:
 
** отношение "наличие общего свойства"
 
** отношение "наличие общего свойства"
  
−
==Источники==
+
==Источники информации==
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia | Симметричное отношение]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Wikipedia | Симметричное отношение]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%8D%D0%BA%D0%B2%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение эквивалентности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Wikipedia | Отношение толерантности]
 +
 +
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_relation Wikipedia | Symmetric relation]
 +
 +
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Отношения ]]

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022

Бинарное отношение [math]R[/math] на множестве [math]X[/math] называется симметричным (англ. symmetric binary relation), если для каждой пары элементов множества [math](a, b)[/math] выполнение отношения [math]a\,R\,b[/math] влечёт выполнение отношения [math]b\,R\,a[/math].

Определение:
Отношение [math]R[/math] симметрично, если [math]\forall a, b \in X:\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a[/math].

Отношение достижимости вершин неориентированного графа симметрично. Матрица симметричного отношения является симметричной относительно главной диагонали, т.е., формально, симметричной называют такую матрицу [math]A[/math], что [math] \forall i,j: i \neq j \Rightarrow a_{ij}=a_{ji}[/math].

Примером антисимметричного отношения является отношение связи вершин направленного ациклического графа.

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также любое отношение толерантности является симметричным (а также рефлексивным, но при этом не транзитивным).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного).

Примеры симметричных отношений

  • Отношения эквивалентности:
    • отношение равенства [math]=\;[/math]
    • отношение сравнимости по модулю
    • отношение равномощности множеств
    • отношение параллельности прямых и плоскостей
    • отношение подобия геометрических фигур
  • Отношения толерантности:
    • отношение "знакомства"
    • отношение "наличие общего свойства"

Источники информации

Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Симметричное_отношение&oldid=84842»