Изменения

Если <mathtex>n \ge geqslant 3</mathtex> и <mathtex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg \ } v \ge geqslant n</mathtex> для любых двух различных несмежных вершин <mathtex>\ u</mathtex> и <mathtex>\ v</mathtex> [[Основные определения теории графов#Неориентированные графы|неориентированного графа ]] '''<tex>G'''</tex>, то '''<tex>G''' </tex> {{--- }} [[Гамильтоновы графы | гамильтонов граф]].

Пусть, от противного, существует граф '''<tex>G'''</tex>, который удовлетворяет условию теоремы, но не является гамильтоновым графом.Будем добавлять к нему новые ребра до тех пор, пока не получим максимальный негамильтонов граф '''<tex>G''''</tex>. В силу того, что мы только добавляли ребра, условие теоремы не нарушилось.

Пусть <mathtex>\ u,v</mathtex> несмежные вершины в полученном графе '''<tex>G''''</tex>. Если добавить ребро <mathtex>\ uv</mathtex>, появится гамильтонов цикл. Тогда путь <mathtex>\ (u,v)</mathtex> {{--- }} гамильтонов.

Для вершин <mathtex>\ u,v</mathtex> выполнено <mathtex>\operatorname{deg\ } u + \operatorname{deg \ } v \ge geqslant n.</mathtex>.

По принципу Дирихле, всегда найдутся две смежные вершины <mathtex>\ t_1,t_2</mathtex> на пути <mathtex>\ (u,v)</mathtex> ,т.е. <mathtex>u \ u..dots t_1t_2..\dots v</mathtex> , такие, что существует ребро <mathtex>\ ut_2</mathtex> и ребро <mathtex>t_1v.</tex> Действительно, пусть <tex>S=</tex> <tex>\{ i \mid e_i=ut_{i+1} \in EG \}</tex> и <tex>T = </tex> <tex>\{ i \mid f_i=t_iv \in EG \}</tex>  Имеем: <tex>\left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert = \operatorname{deg} u + \operatorname{deg} v \geqslant n </tex>, но <tex>\left\vert S + T \right\vert < n.</tex> Тогда <tex>\ t_1vleft\vert S\cap T \right\vert = \left\vert S \right\vert + \left\vert T \right\vert - \left\vert S+T \right\vert > 0</mathtex>, т.е. <tex>\exists i: ut_{i+1}\in EG</tex> и <tex> t_iv \in EG.</tex>Получили противоречие, т.к. <mathtex>u \dots t_1v \ u..t_1t_2..vdots t_2u</mathtex> {{--- }} гамильтонов цикл.