1632
правки
Изменения
м
ВейерштрассБернштейн
rollbackEdits.php mass rollback
== Постановка задачи ==
В курсе математического анализа уже рассмотрено два аппарата приближения функции, причём оба имеют локальный зарактерхарактер. А именно, мы можем приближать функцию с помощью формулы Тейлора или с помощью интерполяционного полинома:
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x - x_0)^k + o((x - x_0)^n)</tex>
:<tex>f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} f(x_k)\phi_k(x) </tex><tex dpi = "160">+ \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}</tex><tex> \cdot \omega_n(x)</tex>
Причём оба способа дают хорошую точность при хороших дифференциальных свойствах функции.
Можно поставить иную задачу, которая является намного более сложной: пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>. Существует ли <tex>\forall \varepsilon > 0</tex> некоторый полином <tex>P</tex> (неважно, какой степени) такой, что <tex>\forall x \in [a; b] : \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>?
Принципиальное отличие этой задачи - требование хорошей точности для всего отрезка при минимальных ограничениях на функцию.
== Теорема о существовании искомого полинома ==
Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>.
{{Теорема
|author=
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a0; b1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a0; b1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
|proof=
Рассмотрим функцию <tex>f(x)</tex> - , непрерывную на отрезке <tex>[0a; 1b]</tex>. Определим полиномы:
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
Выше мы доказали, что <tex>\sum\limits_{k=0}^n P_{n,k}(x) = 1</tex>, поэтому к последней сумме применима теорема о выпуклой мажоранте модуля непрерывности:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega(f, \left|x - \frac kn\right|) \le \sum\limits_{k = 0}^n P_{n, k}(x)\omega^*(f , \left|x - \frac kn\right|) \le</tex> (по [[Выпуклые функции#Неравенство Йенсена|неравенству Йенсена]]) <tex>\omega^*\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right) \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>
Итак, <tex>|f(x) - B_n(f, x)| \le 2\omega\left(f, \sum\limits_{k = 0}^n \left|x - \frac kn\right| P_{n, k}(x)\right)</tex>. Оценим сумму в правой части сверху, тогда при замене суммы оценкой правая часть только возрастет(в силу возрастания модуля непрерывности).
Вернемся к свертыванию суммы:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} = </tex>(раскрывая квадрат и подставляя <tex>p</tex> и <tex>q</tex>) <tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>
Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
{{Лемма
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
|proof=
Так как <tex>\omega(t)</tex> возрастает и <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}} \leq \sqrt{\frac1{4n}} = \frac1{2\sqrt{n}}</tex>(из <tex>x(1 - x) \leq \frac14 </tex>), можно в неравенстве <tex>|f(x) - B_n(x)| \leq 2\omega(f, \sqrt{\frac{x(1 -x)}{n}})</tex> заменить <tex>\sqrt{\frac{x(1 - x)}{n}}</tex> на <tex>\frac1{2\sqrt{n}}</tex>, получив требуемое.
}}
По свойству модуля непрерывности
:<tex>\lim\limits_{n \to +0} \omega(f, h) = 0</tex>, т. е. <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta : 0 < h \le \delta \Rightarrow \omega(f, h) \le \varepsilon</tex>.
Т. к. <tex>\lim\limits_{n \to + \infty}\frac 1{2 \sqrt n} = 0</tex>, то <tex>\exists N \in \mathbb N: \frac 1{2 \sqrt N} \le \delta</tex>. Отсюда по лемме <tex>|f(x) - B_N(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt N}) \le 2 \varepsilon</tex> (по выбору <tex>N</tex> и <tex>\varepsilon</tex>) и теорема Бернштейна доказана.
}}
Теперь докажем для произвольного отрезка <tex>[a; b]</tex>.
{{Теорема
|id=
weirstrasscont
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - P(f, x)| \le \varepsilon</tex>
|proof=
Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок <tex>[0; 1]</tex> можно перевести в отрезок <tex>[a; b]</tex>
линейным преобразованием вида <tex>y = (b - a)x + a</tex>. Также существует обратное преобразование <tex dpi=130>x = \frac{y - a}{b - a}</tex>. Оба этих преобразования линейны.
Рассмотрим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f((b - a)t + a),\ t \in [0; 1]</tex>.
По только что доказанной теореме Бернштейна, <tex>|g(t) - B_n(t)| \leq \varepsilon </tex>.
Так как <tex dpi=130>t = \frac{x - a}{b - a}</tex>, то, подставляя это, получаем <tex dpi=130>|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon</tex>. Значит, можно взять <tex dpi=130>P(x) = B_n(g, \frac{x - a}{b - a})</tex>.
}}
== Равномерная сходимость ==
Всё это переводится на язык равномерной сходимости или так называемой Чебышёвской метрики.
{{Определение
|definition=
<tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} класс функций, непрерывных на <tex>[a; b]</tex>.
}}
По арифметике непрерывности получаем, что <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} линейное множество: если <tex>f, g \in \mathcal{C}[a, b]</tex>, то тогда <tex>\forall \alpha, \beta\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathcal{C}[a, b]</tex>.
{{Определение
|definition=
Чебышёвская(равномерная) норма функции <tex>\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|</tex>
}}
Эта величина удовлетворяет трем законам:
* <tex>\| f \| \ge 0</tex> и <tex>\| f \| = 0 \iff f = 0</tex>
* <tex>\| \alpha f \| = |\alpha| \| f \|</tex>
* <tex>\| f + g \| \le \| f \| + \| g \|</tex>
{{Определение
|definition=
<tex>f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex> в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0</tex>.
Или, по определению предела,
<tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0 \iff \forall \varepsilon \ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in [a; b]:\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>.
Если правую часть воспринимать независимо от нормы, то говорят, что <tex>f_n \stackrel{[a; b]}{\rightrightarrows} f</tex> (<tex>f_n</tex> ''равномерно сходится'' к <tex>f</tex>).
}}
С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за <tex>\mathcal{P}</tex> множество всех полиномов.
Тогда <tex>\mathcal{P}</tex> {{---}} линейное множество в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>.
По теореме Вейерштрасса получаем <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| < \varepsilon</tex>. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что <tex>\mathcal{P}</tex> ''всюду плотно'' расположено в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
