Изменения

Будем последовательно строить подграф <tex>F</tex> графа <tex>G</tex> ("растущий лес"), пытаясь на каждом шаге достроить <tex>F</tex> до некоторого MST. Начнем с того, что включим в <tex>F</tex> все вершины графа <tex>G</tex>. Теперь будем обходить множество <tex>E(G)</tex> в порядке неубывания веса весов ребер. Если очередное ребро <tex>e</tex> соединяет вершины одной компоненты связности <tex>F</tex>, то добавление его в остов приведет к возникновению цикла в этой компоненте связности. В таком случае, очевидно, <tex>e</tex> не может быть включено в <tex>F</tex>. Иначе <tex>e</tex> соединяет разные компоненты связности <tex>F</tex>, тогда существует <tex> \langle S, T \rangle </tex> [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения|разрез]] такой, что одна из компонент связности составляет одну его часть, а оставшаяся часть графа — вторую. Тогда <tex>e</tex> — минимальное ребро, пересекающее этот разрез. Значит, из [[Лемма о безопасном ребре#Лемма о безопасном ребре|леммы о безопасном ребре]] следует, что <tex>e</tex> безопасноеявляется безопасным, поэтому добавим это ребро в <tex>F</tex>. На последнем шаге ребро соединит две оставшиеся компоненты связности, полученный подграф будет минимальным остовным деревом графа <tex>G</tex>.Для проверки возможности добавления ребра используется [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | система непересекающихся множеств]].

<tex> \mathtt{F}\ =\ \mathtt{F} \bigcup vu\</tex> '''return''' <tex> \mathtt{vuF}\</tex>

ОчевидноЛегко показать, что максимальное ребро в MST минимально. Пусть это не так, тогда рассмотрим разрез, который оно пересекает. В этом разрезе должно быть ребро с меньшим весом, иначе максимальное ребро было бы минимальным, но Обратное в таком общем случае минимальный остов не является минимальным, следовательно, максимальное ребро в минимальном остовном дереве минимально. Если же максимальное ребро в остовном дереве минимально, то такое дерево может не быть минимальнымневерно. Зато его можно найти быстрее чем Но MST, а конкретно из-за сортировки строится за <tex>O(E \log E)</tex>. Однако из-за того, что необходимо минимизировать только максимальное ребро, а не сумму всех рёбер, можно предъявить алгоритм, решающий задачу за линейное время. С помощью [[Поиск_k-ой_порядковой_статистики_за_линейное_время | алгоритма поиска k-ой порядковой статистики]] найдем ребро-медиану за <tex>O(E)</tex> и разделим множество ребер на два равных по мощности так, чтобы ребра в первом подмножестве все ребра не превосходили ребро-медиану, а по весу ребер во втором были не меньше его. Запустим Проверим образуют ли ребра из первого подмножества остов графа, запустив [[Использование_обхода_в_глубину_для_проверки_связности|обход в глубину]], чтобы проверить образуют ли ребра из первого подмножества остов, содержащий все вершины графа. * Если да, то, так как все ребра в первом подмножестве меньше чем во втором, рекурсивно запустим алгоритм от него. * В противном случае сконденсируем в супервершины получившиеся несвязные компоненты в супервершины и рассмотрим граф с этими супервершинами вершинами и ребрами из второго подмножества. На последнем шаге ребро соединит останутся две оставшиеся компоненты связности и одно ребро в первом подмножестве — это и будет максимальное ребро минимального веса.  На каждом шаге ребер становится в два раза меньше, а все операции выполняются за время пропорциональное количеству ребер на текущем шаге, следовательно, тогда время работы алгоритма <tex>O(E+\frac{E}{2}+\frac{E}{4}+...+1)=O(E)</tex>. Чтобы восстановить остовное дерево, достаточно запустить алгоритм поиска в глубину и добавлять в остов только те ребра, которые не превосходят найденное алгоритмом ребро.

Работа с [[СНМ (реализация с помощью леса корневых деревьев) | системой непересекающихся множеств]] займет <tex>O(E\alpha(V))</tex>, где <tex>\alpha</tex> — обратная функция Аккермана, которая не превосходит <tex>4 </tex> во всех практических приложениях и которую можно принять за константу.<br>

[[Категория: Остовные деревья ]][[Категория: Построение остовных деревьев]]