Изменения

'''АВЛ-дерево''' (англ. ''AVL-Tree'') {{---}} сбалансированное [[Дерево поиска, наивная реализация|двоичное дерево поиска]], в котором поддерживается следующее свойство: для каждой его вершины высота её двух поддеревьев различается не более чем на 1.

|statement=АВЛ-дерево с <tex>n</tex> ключами имеет высоту <tex>h = O(\log Nn)</tex>.

{{Лемма|statement= Пусть <tex>m_h</tex> {{---}} минимальное число вершин в AVL-дереве высоты <tex>h</tex>, тогда <tex>m_h = F_{h+2} - 1</tex>, где <tex>F_h - h</tex>-ое число Фибоначчи. |proof=Если <tex>m_h</tex> {{---}} минимальное число вершин в AVL-дереве высоты <tex>h</tex>. Тогда, как легко видеть, <tex>m_{h+2} = m_{h+1} + m_h + 1</tex>. Равенство <tex>m_h = F_{h+2} - 1</tex> докажем по индукции.  База индукции <tex>m_1 = F_3 - 1</tex> {{---}} верно, <tex>m_1 = 1, откуда F_3 = 2</tex>.  Допустим <tex>m_h = F_{h+2} - 1</tex>{{---}} верно.  Тогда <tex>m_{h+1} = m_h + m_{h-1} + 1 = F_{h+2} - 1 + F_{h+1} - 1 + 1 = F_{h+3} - 1</tex>.  Таким образом, где равенство <tex>F_h m_h = F_{h+2} - h1</tex>{{---ое число Фибоначчи}} доказано. }}  <tex>F_h = \Omega(\varphi^h)</tex>, <tex>\varphi = \fracdfrac{ \sqrt{5}+1}{2}</tex>. Делая замену То есть <tex>n \geqslant \varphi^{h = }</tex> Логарифмируя по основанию <tex>\varphi</tex>, получаем <tex>\log_{\varphi{}n}\geqslant h</tex> Таким образом, получаем, что высота AVL-дерева из n вершин {{---}} <tex>O(\log{n})</tex>.

'''Балансировкой вершины''' называется операция, которая в случае разницы высот левого и правого поддеревьев <tex>|h(L) - h(R)| = 2</tex>, изменяет связи предок-потомок в поддереве данной вершины так, чтобы восстановилось свойство дерева <tex>|h(L) - h(R)| \le leqslant 1</tex>, иначе ничего не меняет.

| [[Файл:AVL RRavl_u1.GIFjpg|2000x150px2000x200px]] |<tex>h(b) - h(L) = 2</tex> и <tex>h(C) \le h(R)</tex>.

| [[Файл:AVL RLavl_u2.GIFjpg|2000x150px2000x200px]] |<tex>h(b) - h(L) = 2</tex> и <tex>h(c) > h(R)</tex>.

Большой левый поворот пишется проще: '''function''' bigRotateLeft(Node a): rotateRight(a.right) rotateLeft(a) Малое правое и большое правое вращение определяются симметрично малому левому и большому левому вращению.В каждом случае операция приводит к нужному результату, а полная высота уменьшается не более чем на <tex>1</tex> и не может увеличиться. Все вращения, очевидно, требуют <tex>O(1)</tex> операций. == Операции ===== Добавление вершины ===Пусть нам надо добавить ключ <tex>t</tex>. Будем спускаться по дереву, как при поиске ключа <tex>t</tex>. Если мы стоим в вершине <tex>a</tex> и нам надо идти в поддерево, которого нет, то делаем ключ <tex>t</tex> листом, а вершину <tex>a</tex> его корнем. Дальше поднимаемся вверх по пути поиска и пересчитываем баланс у вершин. Если мы поднялись в вершину <tex>i</tex> из левого поддерева, то <tex>diff[i]</tex> увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Если пришли в вершину и её баланс стал равным нулю, то это значит высота поддерева не изменилась и подъём останавливается. Если пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, то это значит высота поддерева изменилась и подъём продолжается. Если пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>2</tex> или <tex>-2</tex>, то делаем одно из четырёх вращений и, если после вращения баланс стал равным нулю, то останавливаемся, иначе продолжаем подъём. Так как в процессе добавления вершины мы рассматриваем не более, чем <tex> O(h) </tex> вершин дерева, и для каждой запускаем балансировку не более одного раза, то суммарное количество операций при включении новой вершины в дерево составляет <tex> O(\log{n}) </tex> операций. === Удаление вершины ===Для простоты опишем рекурсивный алгоритм удаления.Если вершина {{---}} лист, то [[Дерево поиска, наивная реализация#Удаление|удалим]] её, иначе найдём самую близкую по значению вершину <tex>a</tex>, переместим её на место удаляемой вершины и [[Дерево поиска, наивная реализация#Удаление|удалим]] вершину <tex>a</tex>. От удалённой вершины будем подниматься вверх к корню и пересчитывать баланс у вершин. Если мы поднялись в вершину <tex>i</tex> из левого поддерева, то <tex>diff[i]</tex> уменьшается на единицу, если из правого, то увеличивается на единицу. Если пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, то это значит, что высота этого поддерева не изменилась и подъём можно остановить. Если баланс вершины стал равным нулю, то высота поддерева уменьшилась и подъём нужно продолжить. Если баланс стал равным <tex>2</tex> или <tex>-2</tex>, следует выполнить одно из четырёх вращений и, если после вращений баланс вершины стал равным нулю, то подъём продолжается, иначе останавливается. В результате указанных действий на удаление вершины и балансировку суммарно тратится, как и ранее, <tex> O(h) </tex> операций. Таким образом, требуемое количество действий {{---}} <tex> O(\log{n}) </tex>. === Поиск вершины, минимум/максимум в дереве, etc. ===Остальные операции не меняют структуры дерева, поэтому выполняются так же, как и в [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализации]] дерева поиска.===Слияние двух AVL-деревьев=== Дано два дерева <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex>, все ключи в <tex>T_1</tex> меньше ключей в <tex>T_2</tex>, <tex>h(T_1) \leqslant h(T_2)</tex>.  В дереве <tex>T_1</tex> удаляем самую правую вершину, назовём её <tex>b</tex>. Высота дерева <tex>T_1</tex> может уменьшиться на единицу. В дереве <tex>T_2</tex> идём от корня всегда в левое поддерево и, когда высота этого поддерева <tex>P</tex> будет равна высоте дерева <tex>T_1</tex>, делаем новое дерево <tex>S</tex>, корнем <tex>S</tex> будет вершина <tex>b</tex>, левым поддеревом будет дерево <tex>T_1</tex>, а правым дерево <tex>P</tex>. Теперь в дереве <tex>T_2</tex> у вершины, в которой мы остановились при спуске, левым поддеревом делаем дерево <tex>S</tex> и запускаем балансировку. Таким образом, дерево <tex>T_2</tex> будет результатом слияния двух АВЛ-деревьев. Дерево <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex> до слияния  [[File:avl_u3.jpg|340px]] Дерево <tex>T_2</tex> после слияния  [[File:avl_u4.jpg|300px]] ===Алгоритм разделения AVL-дерева на два=======Алгоритм первый====Пусть у нас есть дерево <tex>T</tex>. Мы должны разбить его на два дерева <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex> такие, что <tex>T_{1} \leqslant x</tex> и <tex>x < T_{2}</tex>. Предположим, что корень нашего дерева <tex>\leqslant x</tex>, в таком случае все левое поддерево вместе с корнем после разделения отойдет в дерево <tex>T_{1}</tex>. Тогда рекурсивно спускаемся в правое поддерево и там проверяем это условие (так как часть правого поддерева тоже может содержать ключи <tex>\leqslant x</tex>). Если же корень оказался <tex>> x</tex>, то мы спускаемся той же рекурсией, но только в левое поддерево и ищем там. Пусть мы пришли в поддерево <tex>S</tex>, корень которого <tex>\leqslant x</tex>. В таком случае этот корень со своим левым поддеревом должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. Поэтому мы делаем следующее: запоминаем ссылку на правое поддерево <tex>S</tex>, удаляем корень, запоминая его значение (не меняя конфигурацию дерева, то есть просто делаем ссылки на него NULL'ами). Таким образом, мы отделяем сбалансированное АВЛ-дерево (бывшее левое поддерево <tex>S</tex>). Делаем новую вершину со значением бывшего корня правым листом самой правой вершины <tex>S</tex> и запускаем балансировку. Обозначим полученное дерево за <tex>T''Малое </tex>. Теперь нам нужно объединить его с уже построенным ранее <tex>T_{1}</tex> (оно может быть пустым, если мы первый раз нашли такое дерево <tex>S</tex>). Для этого мы ищем в дереве <tex>T_{1}</tex> самое правое вращениеподдерево <tex>P</tex> высоты, равной высоте <tex>T'</tex> (спускаясь от корня всегда в правые поддеревья). Делаем новое дерево <tex>K</tex>, сливая <tex>P</tex> и <tex>T'</tex> (очевидно, все ключи в <tex>T_{1}</tex> меньше ключей в <tex>T'</tex>, поэтому мы можем это сделать). Теперь в дереве <tex>T_{1}</tex> у отца вершины, в которой мы остановились при поиске дерева <tex>P</tex>, правым поддеревом делаем дерево <tex>K</tex> и запускаем балансировку. После нужно спуститься в правое поддерево бывшего дерева <tex>S</tex> (по ссылке, которую мы ранее запомнили) и обработать его.  Если мы пришли в поддерево <tex>Q</tex>, корень которого <tex>> x</tex>, совершаем аналогичные действия: делаем NULL'ами ссылки на корень <tex>Q</tex>, запоминая ссылку на его левое поддерево. Делаем новую вершину со значением бывшего корня левым листом самой левой вершины <tex>Q</tex> и запускаем балансировку. Объединяем полученное АВЛ-дерево с уже построенным ранее <tex>T_{2}</tex> аналогичным первому случаю способом, только теперь мы ищем самое левое поддерево <tex>T_{2}</tex>. Рассмотрим пример (рис. 1). Цветом выделены поддеревья, которые после разделения должны отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. <tex>x = 76</tex>. {| cellpadding="2"| || [[Файл:AVL LL.GIFjpg|2000x150pxthumb|left|525px|Рис. 1. Разделение АВЛ-дерева на два.]] |} Корень дерева <tex>\leqslant x</tex>, поэтому он со всем выделенным поддеревом должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>. По описанному выше алгоритму отделяем это поддерево с корнем и делаем из них сбалансированное АВЛ-дерево <tex>T'</tex> (рис. 2). Так как это первая ситуация, в которой корень рассматриваемого поддерева был <tex>\leqslant x</tex>, <tex>T'</tex> становится <tex>hT_{1}</tex>. Далее по сохраненной ссылке спускаемся в правое поддерево. Его корень <tex>> x</tex>. Следовательно, строим из него и его правого поддерева <tex>T_{2}</tex> и спускаемся в левое поддерево. Снова корень <tex>\leqslant x</tex>. Строим новое <tex>T'</tex> и объединяем его с уже существующим <tex>T_{1}</tex> (рис. 3). {| cellpadding="2"| || [[Файл:АВВЛ2.jpg|thumb|left|525px|Рис. 2. Создание T'.]]|}{| cellpadding="2"| || [[Файл:AVL3.jpg|thumb|left|1050px|Рис. 3. Объединение T' и T1.]]|} Далее действуем по алгоритму и в итоге получаем (bрис. 4) : {| cellpadding="2"| || [[Файл:End.jpg|thumb|left|525px|Рис. 4. АВЛ- hдеревья после разделения.]]|} Данный алгоритм имеет сложность <tex>O(R\log^{2} n) </tex>. ====Алгоритм второй==== Рассмотрим решение, которое имеет сложность <tex>O(\log{n})</tex>. Вернемся к примеру (рис. 1). Теперь рекурсивно спустимся вниз и оттуда будем строить деревья <tex>T_{1}</tex> и <tex>T_{2}</tex>, передавая наверх корректные АВЛ-деревья. То есть для рис. 1 первым в дерево <tex>T_{1}</tex> придет вершина <tex>75</tex> с левым поддеревом (выделено светло-зеленым цветом), так как это корректное АВЛ-дерево, оно же и вернется из рекурсии. Далее мы попадем в вершину со значением <tex>70</tex> и должны слить ее и ее левое поддерево (выделено светло-синим) с тем, что нам пришло. И сделать это нужно так, чтобы передать наверх корректное АВЛ-дерево. Будем действовать по такому алгоритму, пока не дойдем до вершины. Пусть мы пришли в поддерево <tex>S</tex> с корнем <tex>\leqslant x</tex>. Тогда сольем его с уже построенным на тот момент <tex>T_{1}</tex> (<tex>T_{1}</tex> пришло снизу, а значит по условию рекурсии это корректное АВЛ-дерево, <tex>S \leqslant T_{1}</tex> и <tex>h(CT_{1}) \le leqslant h(LS)</tex>). Но так как обычная процедура слияния сливает два АВЛ-дерева, а <tex>S</tex> не является корректным АВЛ-деревом, мы немного ее изменим. Пусть мы в дереве <tex>S</tex> нашли самое правое поддерево <tex>K</tex>, высота которого равна высоте <tex>T_{1}</tex>. Тогда сделаем новое дерево <tex>T'</tex>, корнем которого будет вершина <tex>S</tex> (без нее это дерево является сбалансированным), правым поддеревом {{---}} <tex>T_{1}</tex>, левым {{---}} <tex>K</tex>. И подвесим <tex>T'</tex> на то место, где мы остановились при поиске <tex>K</tex>. Запустим балансировку. В случае, когда корень поддерева, в которое мы пришли, <tex>> x</tex>, все аналогично. Разберем пример на рис. 1. Пусть мы рекурсивно спустились до узла <tex>diff77</tex>. Ключ больше <tex>x</tex>, поэтому эта вершина станет деревом <tex>T_{2}</tex> и передастся наверх. Теперь мы поднялись в узел <tex>75</tex>. Он со своим левым поддеревом станет деревом <tex>T_{1}</tex> и мы снова поднимемся наверх в узел <tex>70</tex>. Он со своим левым поддеревом снова должен отойти в дерево <tex>T_{1}</tex>, и так как теперь дерево <tex>T_{1}</tex> уже не пустое, то их надо слить. После слияния по описанному выше алгоритму получим (рис. 5) {| cellpadding="2"| || [[aФайл:Ex.jpg|thumb|left|525px|Рис. 5.]] |} После мы поднимемся в вершину с ключом <tex>80</tex>. Она с правым поддеревом отойдет в дерево <tex>T_{2}</tex> (рис. 6).  {| cellpadding= "2"| || [[Файл:Ex2am.jpg|thumb|left|525px|Рис. 6.]]|} И на последней итерации мы поднимемся в корень дерева с ключом <tex>50</tex>, он с левым поддеревом отойдет в дерево <tex>T_{1}</tex> , после чего алгоритм завершится. Пусть поддеревьев с ключами <tex>\leqslant x</tex> оказалось больше, чем поддеревьев с ключами <tex>> x</tex>. Докажем для них логарифмическую асимптотику. Дерево на последнем уровне имеет высоту <tex>H_{k}</tex> (она может быть не равна <tex>1</tex>, если мы придём в <tex>x</tex>). Его мы передаем наверх и вставляем в поддерево высотой <tex>H_{k-1}</tex>. <tex>diff[b] H_{k} \leqslant H_{k-1}</tex>, так как разница высот поддеревьев у любой вершины не больше <tex>1</tex>, и мы при переходе от <tex>H_{k}</tex> к <tex>H_{k-1}</tex> поднимаемся как минимум на одну вершину вверх. Слияние этих поддеревьев мы выполним за <tex>H_{k-1} - H_{k}</tex>, получим в итоге дерево высоты не большей, чем <tex>H_{k-1}</tex>. Его мы передадим наверх, поэтому в следующий раз слияние будет выполнено за <tex>H_{k-2} - H_{k - 1}</tex> и так далее. Таким образом мы получим <tex>(H - H_{1}) + (H_{1} - H_{2}) + (H_{2} - H_{3}) + \cdots + (H_{k - 1} - H_{k}) = H - H_{k} = 1O(\log{n})</tex>. Итоговая асимптотика алгоритма {{---}} <tex>O(\log{n})</tex>.

=== Идея ===В обычной реализации АВЛ-дерева в каждом узле мы хранили высоту этого узла. Так как высоты левых и правых поддеревьев в АВЛ-дереве отличаются максимум на <tex>diff[a] = 21</tex>, то мы будем хранить не всю высоту дерева, а некоторое число, которое будет показывать, какое поддерево больше, или равны ли они, назовём ''фактор баланса''. Таким образом в каждом узле будет храниться <tex>1</tex> {{---}} если высота правого поддерева выше левого, <tex>0</tex> {{---}} если высоты равны, и <tex>diff[b] = 0-1</tex>{{---}} если правое поддерево выше левого. |

'''Операция добавления''' <br>Пусть нам надо добавить ключ <tex>t</tex>. Будем спускаться по дереву, как при поиске ключа <tex>t</tex>. Если мы стоим в вершине <tex>diff[a] = </tex> и нам надо идти в поддерево, которого нет, то делаем ключ <tex>t</tex> листом, а вершину <tex>a</tex> его корнем. Пересчитываем баланс данного узла <tex>a</tex>. Если он оказался <tex>0</tex> , то высота поддерева с корнем в этой вершине не изменилась и пересчет балансов останавливается. Дальше начинаем подниматься вверх по дереву, исправляя балансы попутных узлов. Если мы поднялись в вершину <tex>i</tex> из левого поддерева, то баланс увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Если мы пришли в вершину и её баланс стал равным <tex>1</tex> или <tex>-1</tex>, то это значит, что высота поддерева изменилась, и подъём продолжается. Если баланс вершины <tex>diff[b] = 0a</tex>, в которую мы собираемся идти из ее левого поддерева, равен <tex>1</tex>, то делается поворот для этой вершины <tex>a</tex>. Аналогично делаем поворот, если баланс вершины <tex>a</tex>, в которую мы идем из ее правого поддерева, равен <tex>-1</tex>. Если в результате изменения узла, фактор баланса стал равен нулю, то останавливаемся, иначе продолжаем подъём.

=== Балансировка ===Опишем операции балансировки, а именно малый левый поворот, большой левый поворот и случаи их возникновения. Балансировка нам нужна для операций добавления и удаления узла. Для исправления факторов баланса, достаточно знать факторы баланса двух(в случае большого поворота {{---}} трех) вершин перед поворотом, и исправить значения этих же вершин после поворота. Обозначим фактор баланса вершины <tex>i</tex> как <tex>diffbalance[i]</tex>. Операции поворота делаются на том шаге, когда мы находимся в правом сыне вершины <tex>a] = 1</tex> , если мы производим операцию добавления, и в левом сыне, если мы производим операцию удаления. Вычисления производим заранее, чтобы не допустить значения <tex>2</tex> или <tex>diff[b] = -12</tex> в вершине <tex>a</tex>. На каждой иллюстрации изображен один случай высот поддеревьев. Нетрудно убедиться, что в остальных случаях всё тоже будет корректно.

|'''Большое правое Малое левое вращение''' | [[Файл:AVL LRAvl_u1.GIFjpg|2000x150px2000x200px]] |'''1 вариант:''' <tex>h(b) balance[a] = - h(R) = 21</tex> и <tex>h(c) > h(L)</tex>.<tex>diffbalance[ab] = 2-1</tex>,   '''2 вариант:''' <tex>diffbalance[ba] = -1</tex> и <tex>diffbalance[cb] = 10</tex> |

<tex>diff |- |'''Большое левое вращение''' | [a] = 2</tex>, <tex>diff[bФайл:Avl_u2.jpg|2000x200px] = -1</tex> и <tex>diff[c] = 0</tex>.

'''2 вариант:''' <tex>diffbalance[a] = -1</tex>, <tex>diffbalance[b] = 01</tex> и <tex>diffbalance[c] = 0-1</tex>

'''3 вариант:''' <tex>diffbalance[a] = 0-1</tex>, <tex>diffbalance[b] = 1</tex> и <tex>diffbalance[c] = 0</tex> |

Все операции вращения'''2 вариант:''' <tex>balance[a] = 1</tex>, очевидно, требуют <tex>O(1)balance[b] = 0</tex> и <tex>balance[c] = 0</tex> операций.

Так как в процессе добавления вершины мы рассматриваем не более'''3 вариант:''' <tex>balance[a] = 0</tex>, чем <tex> O(h) balance[b] = 0</tex> вершин дерева, и для каждой запускаем балансировку не более одного раза, то суммарное количество операций при включении новой вершины в дерево составляет <tex> O(\log{n}) balance[c] = 0</tex> операций. |}

=== Удаление вершины Примеры ===Для простоты опишем рекурсивный алгоритм Ниже приведены примеры добавления и удалениявершины с подписанными изменениями факторов баланса каждой вершины.Если вершина - лист, то {| cellpadding="2"| || [[Дерево поиска, наивная реализация#УдалениеФайл:Avl_add.png|thumb|left|1050px|удалим'''Добавление''']] её и вызовем балансировку всех её предков в порядке от родителя к корню|}{| cellpadding="2"| || [[Файл:Avl_delete. Иначе найдём самую близкую по значению вершину и переместим её на место удаляемой вершины, при этом вызвав процедуру её удаления. В процедуре удаления будем идти от переданной вершины к корню и, если пришли из левого поддерева <tex>diff[ipng|thumb|left|1050px|'''Удаление''']]</tex> увеличивается на единицу, если из правого, то уменьшается на единицу. Где требуется балансировка, запускаем процедуру балансировки.|}

В результате указанных действий процедура удаления вызывается не более 3 раз, так как у вершины, удаляемой по 2-му вызову, нет хотя бы одного из поддеревьев. На балансировку суммарно тратится, как и ранее, <tex> O(h) </tex> операций. Таким образом, требуемое количество действий {{---}} <tex> O(\log{n}) </tex>. === Поиск вершины, минимум/максимум в дереве, etcСм. =также ==Остальные операции не меняют структуры дерева, поэтому выполняются так же, как и в * [[Дерево поиска, наивная реализация|наивной реализацииSplay-дерево]] дерева поиска.==Слияние двух AVL* [[Красно-деревьев==черное дерево]]Дано два дерева <tex>T_1</tex> и <tex>T_2</tex>, все ключи в <tex>T_1</tex> меньше ключей в <tex>T_2</tex>, <tex>h(T_1) \le h(T_2)</tex>. В дереве <tex>T_1</tex> удаляем самую правую вершину, назовём её <tex>a</tex>. Высота дерева <tex>T_1</tex> может уменьшиться на единицу. В дереве <tex>T_2</tex> идём от корня всегда в левое поддерево и, когда высота этого поддерева <tex>P</tex> будет равна высоте дерева <tex>T_1</tex>, делаем новое * [[2-3 дерево <tex>Q</tex>, корнем <tex>Q</tex> будет вершина <tex>a</tex>, левым поддеревом будет дерево <tex>T_1</tex>, а правым дерево <tex>P</tex>. Теперь в дереве <tex>T_2</tex> у вершины, в которой мы остановились при спуске, левым поддеревом делаем дерево <tex>Q</tex> и запускаем балансировку. Таким образом, дерево <tex>T_2</tex> будет результатом слияния двух АВЛ-деревьев.]]

== Литература Источники информации ==* [http://habrahabr.ru/post/150732/ Habrahabr {{---}} АВЛ-деревья]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/АВЛ-дерево Википедия {{---}} АВЛ-дерево]