Изменения

Пусть <tex>M_1 = \langle X, \mathcal{I}_1 I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X, \mathcal{I}_2 I_2 \rangle </tex> {{---}} два матроида на множестве элементов <tex>X</tex> с наборами независимых множеств <tex>\mathcal{I}_1I_1</tex> и <tex>\mathcal{I}_2I_2</tex>. Положим <tex> \mathcal{I} = \mathcal {f} A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in \mathcal{I}_1I_1, A_2 \in \mathcal{I}_2 I_2 \mathcal {g} </tex>. Множество <tex>\mathcal{I}</tex> удовлетворяет [[Объединение матроидов, доказательство того, что объединение является матроидом|аксиомам независимости]], следовательно, <tex>\langle X, \mathcal{I} \rangle </tex> {{---}} матроид, для которого <tex>\mathcal{I}</tex> служит независимым множествомнабором независимых множеств. Этот матроид называется '''объединением матроидов''' (англ. ''matroid union'') <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>, и обозначается <tex> M = M_1 \cup M_2 </tex>

Обычно термин "объединение" «объединение» применяется, когда носители <tex>X</tex> в обоих матроидах одинаковы, однако это не является необходимым, мы можем дополнить их до объединения, заметим, что от этого <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> не перестанут быть матроидами. Если в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> носители непересекающиеся, тогда то это будет являться [[Прямая сумма матроидов|прямой суммой матроидов]].

* В отличие от [[Пересечение матроидов, определение, примеры|пересечения матроидов]], объединение двух '''конечных матроидов''' (англ. ''finite matroid'') матроидов всегда является матроидом, однако объединение двух '''бесконечных матроидов ''' (англ. ''infinite matroid'') не обязательно будет им.* Объединение применяется к независимым множествам, а не к матроидам в целом, то есть это операция на другом уровне, по сравнению с пересечение пересечением матроидов.

Давайте зададим функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times Y \rightarrow X</tex>: <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для =Проверка множества <tex>B \in X \times Y</tex> выполняется <tex>P_1(B) на независимость= \{A \subset X| \forall x \in A</tex> <tex>\exists y \in B : P_1(y) = x\}</tex>.

{{Задача|definition=Дан матроид <tex>M = M_1 \cup M_2, M = \langle X, I\rangle</tex>. Необходимо проверить, является ли некоторое множество <tex>U \in X</tex> независимым, то есть, лежит ли оно в <tex>I</tex>.}} Для решения этой задачи преобразуем каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_1</tex> в <tex>(x, 1)</tex>, а каждый элемент множества <tex>X</tex> в матроиде <tex>M_2</tex> в <tex>(x, 2)</tex>. Мы получили два матроида <tex>M'_1 = \langle (X \times \{1\}), I_1 \rangle </tex> и <tex> M'_2 = \langle (X \times \{2\}), I_2 \rangle </tex>.  Определим ещё несколько функцию <tex>P_1</tex> : <tex> X \times Y \rightarrow X</tex>, при этом <tex>P_1((x, y)) = x</tex>, а для множества <tex>B \in X \times Y</tex> выполняется <tex>P_1(B) = \{A \subset X \mid \forall x \in A </tex> <tex> \exists b \in B : P_1(b) = x\}</tex>. Тогда функция <tex>P_1</tex> на носителях матроидов<tex>M'_1</tex> и <tex>M'_2</tex> будет являться естественным отображением <tex>(x, i) \rightarrow x</tex>, где <tex>i \in \{1, 2\}</tex>. Затем определим два матроида, которые нам далее понадобятся:  # <tex>M_{\oplus} = M'_1 \oplus M'_2 = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> I_{\oplus} = \{A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2\} \rangle</tex> {{---}} прямая сумма двух матроидов (носители матроидов <tex>M'_1</tex> и <tex>M'_2</tex> при пересечении будут давать пустое множество).# <tex>M_{P_1} = \langle (X \times \{1\}) \cup (X \times \{2\}),</tex> <tex> I_{P_1} = \{A \mid |P_1(A)| = |A|\} \rangle</tex> {{---}} <tex>I_{P_1}</tex> в данном случае будет содержать такие независимые множества, что мощность любого множества <tex>A</tex> из <tex>I_{P_1}</tex> будет равна мощности множества, получаемого функцией <tex>P_1</tex> над <tex>A</tex>, то есть <tex>A</tex> не будет содержать одновременно <tex>(x, 1)</tex> и <tex>(x, 2)</tex>.  Теперь перейдём к нашей задаче. Множество <tex>U</tex> является независимым, если [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]] <tex> r(U) = |U|</tex>.Можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> выполняется <tex>r(U) = \max\limits_{A \mid A \in I_{\oplus}, A \in I_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|</tex>. Таким образом, мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и <tex>M_{P_1}</tex>. С помощью [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритма построения базы в пересечении матроидов]] найдем размер максимального подмножества <tex>U' \mid P_1(U') = U</tex> в пересечении наборов независимых множеств матроидов. ==Доказательство того, что объединение матроидов является матродидом=={{Определение|definition = <tex>M_1 = \langle X_1, I_1 \rangle </tex> и <tex> M_2 = \langle X_2, I_2 \rangle </tex> — матроиды. Тогда <tex> M_1 \cup M_2 = \langle X = X_1 \cup X_2, I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \} \rangle </tex>.}}

{{Лемма|statement = <tex>M_{P_1} M = \langle (X , I \times rangle</tex> — матроид, <tex> f \{1\}) \cup (colon X \times \{2\}),to Y</tex> . Тогда <tex> I_{P_1} M_1 = \langle Y, I_1 = \{f(A ) \mid |P_1(A)| = |A|\in I \} \rangle</tex>является матроидом.

Теперь перейдём к задаче. У нас есть множество и нужно проверить его независимость в объединении матроидов.Множество <tex>U</tex> - независимо, если <tex>r(U) = |U|</tex>.А можно заметить, что в матроиде <tex>M</tex> выполняется <tex>r(U) proof = \max\limits_{A \in I, A \in I_{P_1}, P_1(A) \subset U} |A|</tex>.Т.е. мы свели задачу о проверке множества на независимость в объединении к нахождению мощности максимального независимого множества в пересечении матроидов <tex>M_{\oplus}</tex> и Докажем аксиомы независимости для <tex>M_{P_1}I_1 </tex>. Мы это уже умеем делать - [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]].

# <tex>\varnothing \in I_1</tex> <br /><tex> \varnothing =f(\varnothing) \in I_1 </tex># <tex>B \subset A, A \in I_1 \Rightarrow B \in I_1</tex><br /><tex>A \in I_1</tex>, значит <tex>\exists S, S \in I</tex>, такое, что <tex> A = Литература f(S)</tex>. <tex>B = f(S \setminus f^{-1} (A \setminus B)), (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \subset S \Rightarrow (S \setminus f^{-1} (A \setminus B)) \in I</tex>. Значит <tex>B \in I_1</tex>.# Пусть <tex> A \in I_1, A = f(S), B \in I_1, B = f(T), |A| > |B|</tex>. Докажем, что <tex>\exists y \in A \setminus B, B \cup \{ y \} \in I_1</tex><br /><tex>A = f(S) \Rightarrow \exists S_1 \subset S, A = f(S_1), |S_1| = |A| </tex>.<br /><tex>B = f(T) \Rightarrow \exists T_1 \subset T, B = f(T_1), |T_1| = |B| </tex>.<br /><tex>S_1 \in I, T_1 \in I</tex> по второй аксиоме для <tex>M</tex>.<br /><tex> |S_1| > |T_1| </tex>, значит по третьей аксиоме для <tex>M</tex>, <tex>\exists x \in S_1 \setminus T_1, T_1 \cup \{ x \} \in I</tex>. Следовательно <tex>f(T_1 \cup \{ x \}) \in I_1</tex>.<br /><tex>f(T_1 \cup \{ x \}) = f(T_1) \cup f(x) = B \cup f(x)</tex> Значит <tex>\exists y = f(x) \in A \setminus B , B \cup \{ y \} \in I_1</tex>}}  {{Теорема|statement = Объединение матроидов является матроидом. |proof = Рассмотрим матроиды <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex> из определения объединения матроидов. Из [[Прямая сумма матроидов|леммы]] знаем, что <tex> M_1 \oplus M_2= \langle X = X_1 \times \{ 1 \} \cup X_2 \times \{ 2 \}, I = \{ A \mid A = A_1 \cup A_2, A_1 \in I_1, A_2 \in I_2 \} \rangle </tex> является матроидом. Пусть <tex>f \colon X_1 \times \{ 1 \} \cup X_2 \times \{ 2 \} \to X_1 \cup X_2 </tex>, такая, что <tex>f(x \times \{ 1 \}) \rightarrow x </tex>, <tex>f(x \times \{ 2 \}) \rightarrow x </tex>. Тогда по лемме <tex> M_3 = \langle X_1 \cup X_2, I_3 = \{ f(A) \mid A \in I \} \rangle</tex> — матроид, в котором независимым множествам соответствуют объединения независимых множеств в <tex>M_1</tex> и <tex>M_2</tex>. То есть <tex>M_3 = M_1 \cup M_2</tex>.}} ==См. также==* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]] ==Источники информации ==

* Chandra Chekuri {{---}} [https://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture19.pdf '''Chandra Chekuri {{---}} Combinatorial Optimization]* [http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec13.pdf Michel X. Goemans {{---}} Advanced Combinatorial Optimization''']* [https://en.wikipedia.org/wiki/MatroidWikipedia {{---}} Matroid] [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Матроиды]][[Категория:Объединение матроидов]]