Мера на полукольце множеств

<< >>

Определение:

Пусть [math] (X, \mathcal R) [/math] — полукольцо. [math] m: \mathcal R \rightarrow \overline{\mathbb R}_{+}[/math] называется мерой на нем, если: [math] m(\varnothing) = 0 [/math]. Для дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R [/math] и [math] A \in \mathcal R [/math], такого, что [math] A = \bigcup\limits_{n} A_n [/math], [math] m(A) = \sum\limits_n m(A_n) [/math] (сигма-аддитивность).

Примеры мер:

• [math] \mathcal R = 2^X, m(\varnothing) = 0, m(A) = +\infty [/math] (патологический)
• [math] X = \mathbb N, \mathcal R = 2^X, m(X) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} P_n [/math] — сходящийся положительный ряд, [math] m(\varnothing) = 0 [/math], для [math] A = \{i_1, i_2, \ldots, i_n\ldots\} [/math] (множество может быть конечным) полагаем [math] m(A) = \sum\limits_{k \in A} P_k [/math]
• Для полукольца ячеек примером меры является [math] m(A) = b - a [/math], где [math] A = [a; b) [/math] — длина ячейки. То, что длина ячейки является корректно определенной мерой — нетривиальный факт, который будет доказан нами позднее.

Выведем два важных свойства меры на полукольце:

Лемма:

Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math], тогда: 1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_{n} A_n \subset A [/math], выполняется [math] \sum\limits_{n} m(A_n) \le m(A) [/math]. 2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_{n} A_n [/math], выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_{n} m(A_n) [/math] (сигма-полуаддитивность). Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотонностью меры.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Пусть [math] A \setminus\bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n = \bigcup\limits_{p} D_p [/math] (дизъюнктны), тогда [math] A = \bigcup\limits_{n=1}^{N} A_n \cup \bigcup\limits_{p} D_p [/math]. По сигма-аддитивности меры, [math] m(A) = \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) + \sum\limits_{p} m(D_p) [/math]. Так как второе слагаемое неотрицательно, то [math] m(A) \ge \sum\limits_{n = 1}^{N} m(A_n) [/math]. Устремляя [math] N [/math] к бесконечности, получаем требуемое. 2) Так как [math] A = \bigcup\limits_{n} (A \cap A_n) [/math], каждое из пересечений принадлежит [math] \mathcal R [/math], то [math] A = \bigcup\limits_{p} B_p [/math] (дизъюнктны), отсюда по сигма-аддитивности меры [math] m(A) = \sum\limits_{p} m(B_p) [/math]. Разобьем множества [math] B_p [/math] на группы, так чтобы в группе с номером [math] n [/math] были дизъюнктные множества, объединение которых является подмножеством [math] A_n [/math]. Для каждой такой группы, мера объединения ограничена по пункту 1) мерой [math] A_n [/math], поэтому получаем [math] m(A) \le \sum\limits_{p} m(A_p) [/math].

[math]\triangleleft[/math]

<< >>