Изменения

|definition = '''Нера́венство Ма́ркова ''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно

{{Теорема| id =thMark| about = Формулировка Неравенство Маркова| statement =Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R_\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|</tex> конечно. Тогда:: <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>где:: <tex> x </tex> {{---}} константа соответствующая некоторому событию в терминах [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]: <tex> \xi </tex> {{---}} случайная величина: <tex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)</tex> {{---}} вероятность отклонения модуля случайной величины от <tex> x </tex>: <tex>\mathbb E\mathrm |\xi|</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайной величины| proof =Возьмем для доказательства следующее понятие:

Пусть случайная величина <mathtex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+A</mathtex> определена на вероятностном пространстве (случайную величину <mathtex>\OmegaI</mathtex>, равную единице если событие <mathtex>FA</mathtex>произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)<math/tex>имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли]] с параметром::<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb RP\mathrm (A)</mathtex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание ]] равно вероятности успеха<mathtex> p = \mathbb EP\mathrm (A) </tex>.Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\mathcal {1}cdot I(|\xi| \geqslant x)</mathtex>. Тогда : :<mathtex>\forall ~mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x > 0~~ \cdot \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge geqslant x)</tex>.Разделим обе части на <tex>x</tex>::<tex> \le mathbb P (|\frac xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </mathtex>== Доказательство ==}}

Пусть <math> A</math> - некоторое событиестуденты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. Назовем индикатором события В среднем они опаздывают на <mathtex>A3</mathtex> случайную величину <math>I</math>, равную единице если событие <math>A</math> произошло, и нулю в противном случаеминуты. По определению величина <math>I(A)</math> имеет распределение Бернулли с параметром <math> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</math>Какова вероятность того, и ее математическое ожидание равно вероятности успеха что студент опоздает на <mathtex> p = \mathbb P\mathrm (A) 15</mathtex>. Индикаторы прямого минут и противоположного событий связаны равенством <math>I(A) + I(\overline A) = 1</math>более? Дать грубую оценку сверху. Поэтому <math>|\xi|=|\xi|*I(|\xi|<x)+|\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge |\xi|*I(|\xi|\ge x)\ge x*I(|\xi| \ge x)</math>.Тогда <math>\mathbb E\mathrm |\xi|\ge \mathbb E\mathrm(x*I(|\xi|\ge x)) = x*\mathbb P\mathrm (|\xi|\ge x)</math>.Разделим обе части на <math>x</math>: <mathtex> \mathbb P\mathrm(|\xi| \ge xgeqslant 15)\le leqslant \frac dfrac{\mathbb E\mathrm |\xi|3}{x15} = 0.2</mathtex> == Неравенство Чебышева ==

{{Определение |definition == Примеры =='''Неравенство Чебышева''' (англ. Chebyshev's inequality) является следствием [[#thMark|неравенства Маркова]] и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.}}

Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.{{Теорема|id = thCheb|about = Неравенство Чебышева|statement = Если <mathtex>\mathbb PE\mathrm (|\xi|^2<\ge 15)mathcal 1</tex>, то <tex>\le 3/15 = forall x > 0.2</mathtex>будет выполнено

:<tex>\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>где:: <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] квадрата случайного события.: <tex>E\mathrm \xi</tex> {{---}} [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] случайного события: <tex> P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) </tex> {{---}} вероятность отклонения случайного события от его [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] хотя бы на <tex> x</tex>: <tex> \mathbb D\mathrm \xi </tex> {{---}} [[Дисперсия случайной величины|дисперсия случайного события]]|proof =Для <tex>x>0</tex> неравенство <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x</tex> равносильно неравенству <tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2</tex>, поэтому <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = Неравенство Чебышева =\mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} =\dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}</tex>}}

{{Определение |definition = Неравенство Чебышева является следствием Неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего.}} == Формулировка Следствие ==

Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2<\mathcal 1</math>Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", то <math>\forall x > 0</math> будет выполнено <math>\mathbb P\mathrm (которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего [[Математическое ожидание случайной величины|\xi - \mathbb E\mathrm \xiматематического ожидания]] более чем на три корня из [[Дисперсия случайной величины| \ge x) \le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{\xi^2}</math>дисперсии]] мала.

{{Утверждение| statement == Доказательство == Если <tex>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</tex>, то <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}</tex>.

Для | proof =Если в доказательстве [[#thCheb|неравенства Чебышева]] вместо <tex> \geqslant </tex> поставить <mathtex> > </tex> рассуждения не изменятся, так какдля <tex>x>0</mathtex> неравенство <mathtex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \ge > x</mathtex> равносильно неравенству <mathtex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge > x^2</mathtex>, поэтому : : <mathtex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| > 3\ge x) = sqrt{\mathbb PD\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \ge x^2 }) \le leqslant \frac dfrac {\mathbb ED\mathrm\xi}{(3\xi-sqrt{\mathbb ED\mathrm\xi})^2}= \dfrac {x^21} {9} = </tex>Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] меньше чем <tex>\frac dfrac {\mathbb D\mathrm \xi1}{x^29}</mathtex>}}

== Следствие См. также ==* [[Дискретная случайная величина]]* [[Дисперсия случайной величины]]* [[Математическое ожидание случайной величины]]

Как следствие получим так называемое "правило трех сигм",которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала== Источники информации ==* [https://ru. wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0 Википедия {{---}} Неравенство Маркова]* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%A7%D0%B5%D0%B1%D1%8B%D1%88%D1%91%D0%B2%D0%B0#.D0.9D.D0.B5.D1.80.D0.B0.D0.B2.D0.B5.D0.BD.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE_.D0.A7.D0.B5.D0.B1.D1.8B.D1.88.D1.91.D0.B2.D0.B0_.D0.B2_.D1.82.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B8.D0.B8_.D0.B2.D0.B5.D1.80.D0.BE.D1.8F.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B5.D0.B9 Википедия{{---}} Неравенство Чебышева]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Markov%27s_inequality Wikipedia {{---}} Markov's inequality]*[https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev%27s_inequality Wikipedia {{---}} Chebyshev's inequality]*[https://www.probabilitycourse.com/chapter6/6_2_2_markov_chebyshev_inequalities.php Markov and Chebyshev Inequalities]

Рассмотрим такое утверждение[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] Если <math>\mathbb E\mathrm \xi^2 < \mathcal {1}</math>, то <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \le 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\ge \frac {8}{9}</math>. Доказательство[[Категория:Согласно неравенству Чебышева <math>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\le 3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi)\le \frac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt(\mathbb D\mathrm \xi))^2} = \frac {1} {9}</math>Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем <math>\frac {1}{9}</math>Теория вероятности]]