1632
правки
Изменения
м
Ученики в Пусть студенты никогда не приходят вовремя, они всегда опаздывают. В среднем они опаздывают на <tex>3 </tex> минуты. Какова вероятность того, что ученик студент опоздает на <tex>15 </tex> минут и более? Дать грубую оценку сверху.: <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant \dfrac{3/}{15 } = 0.2</tex>
Согласно Если в доказательстве [[#thCheb|неравенства Чебышева]] вместо <tex> \geqslant </tex> поставить <tex> > </tex> рассуждения не изменятся, так какдля <tex>x>0</tex> неравенство <tex>|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| > x</tex> равносильно неравенству Чебышева<tex>(\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 > x^2</tex>, поэтому: : <tex>\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\geqslant > 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}</tex>
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition = '''Нера́венство Ма́ркова''' (англ. ''Markov's inequality'') в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]]. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
явным образом.
}}
| id = thMark
| about = Неравенство Маркова
| statement = Пусть случайная величина <tex>X: \Omega \rightarrow \mathbb RR_\mathrm+</tex> определена на [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]] (<tex>\Omega</tex>, <tex>F</tex>, <tex>\mathbb R</tex>), и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] <tex> \mathbb E\mathrm |\xi|<\mathcal {1}</tex>конечно. Тогда:
: <tex>\forall ~x > 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} </tex>
где:
| proof = Возьмем для доказательства следующее понятие:
Пусть <tex> A</tex> {{---}} некоторое событие. Назовем индикатором события <tex>A</tex> случайную величину <tex>I</tex>, равную единице если событие <tex>A</tex> произошло, и нулю в противном случае. По определению величина <tex>I(A)</tex> имеет [[Схема Бернулли|распределение Бернулли ]] с параметром:
:<tex> p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)</tex>,
и ее [[Математическое ожидание случайной величины| математическое ожидание]] равно вероятности успеха
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством <tex>I(A) + I(\overline A) = 1</tex>. Поэтому
:<tex>|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|<x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)</tex>.
Тогда:
:<tex> \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) </tex>.
Разделим обе части на <tex>x</tex>:
== Пример ==
== Неравенство Чебышева ==
{{Теорема
|id = thCheb
|about = Неравенство Чебышева
|statement =
| proof =
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения [[Математическое ожидание случайной величины| математического ожидания]] меньше чем <tex>\dfrac {1}{9}</tex>
}}
