Скрытые Марковские модели

Определение:

Скрытая Марковская модель (англ. A hidden Markov model) — модель процесса, в которой процесс считается Марковским, причем неизвестно, в каком состоянии [math]s_i[/math] находится система (состояния скрыты), но каждое состояние [math]s_i[/math] может с некоторой вероятностью [math]b_{io_j}[/math] произвести событие [math]o_j[/math], которое можно наблюдать.

Описание

Модель представляет из себя марковскую цепь, для которой нам известны начальная вероятность и матрица вероятностей переходов. Скрытой она называется потому, что мы не имеем информации о ее текущем состоянии. Мы получаем информацию на основе некоторого наблюдения, в рассмотренном ниже алгоритме мы будем использовать просто натуральное число от [math]1[/math] до [math]N[/math], как индекс наблюдаемого события. Для каждого состояния скрытой марковской модели задан вектор вероятности эмиссии, который характеризует вероятность наблюдения каждого события, когда модель находится в этом состоянии. Совокупность таких векторов образует матрицу эмиссии.

Марковская модель [math]\lambda[/math] задается как [math]\lambda = \{S, \Omega, \Pi, A, B\}[/math], где [math]S = \{s_1 \dots s_n\}[/math] — состояния, [math]\Omega = \{\omega_1 \dots \omega_m\}[/math] — возможные события, [math]\Pi = \{\pi_1 \dots \pi_n\}[/math] — начальные вероятности, [math]A = \{a_{ij}\}[/math] — матрица переходов, а [math]B = \{b_{i\omega_k}\}[/math] — вероятность наблюдения события [math]\omega_k[/math] после перехода в состояние [math]s_i[/math].

Примеры

Пример СММ

Рассмотрим пример скрытой марковской модели. У Деда Мороза есть три мешка с подарками в разноцветной упаковке: красной, синей, зеленой и фиолетовой. Ночью Дед Мороз пробирается в квартиру и тайком выкладывает подарки под елкой в ряд, доставая по одному подарку из мешка. Наутро мы обнаруживаем упорядоченную последовательность из пяти подарков и хотим сделать наилучшее предположение о последовательности мешков, из которых он доставал эти подарки. Дед Мороз с мешками — скрытая марковская модель. При этом [math]4[/math] цвета — пространство из [math]M[/math] возможных событий, [math]3[/math] мешка — количество состояний [math]N[/math], [math]5[/math] подарков — наши [math]K[/math] наблюдений, каждое из которых представлено цифрой — номером цвета — от [math]1[/math] до [math]5[/math]. Мы знаем, каковы вероятности того, что Дед Мороз начнет доставать подарки из мешка с номером [math]i[/math] — вектор [math]\pi[i][/math]. Мы также знаем матрицу переходов [math]A[/math], какова вероятность того, что от мешка с номером [math]i[/math] Дед Мороз переходит к мешку с номером [math]j[/math]. Мешки Деда Мороза бесконечны, но мы точно знаем, каково соотношение цветов подарков в каждом мешке ему загрузили на заводе в Великом Устюге. Это матрица вероятностей эмиссии [math]B[/math].

Алгоритмы на СММ

• Кластерный анализ (англ. Cluster analysis) — многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы.

Регрессионный анализ

• Регрессионный анализ (англ. Regression analysis) — статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных [math]X_1, X_2 \dots X_p[/math] на зависимую переменную [math]Y[/math].
• Задача классифика́ции (англ. Statistical classification) — формализованная задача, в которой имеется множество объектов (ситуаций), разделённых некоторым образом на классы.

Обучение

Параметр задачи обучения СММ — это нахождение лучшего результата. Пусть дана выходная последовательность или множество таких последовательностей,лучший набор состояний переходов и вероятности эмиссии. Задача, как правило, для получения максимальной вероятностной оценки параметров СММ, учитывая множество выходных последовательностей. Не существует общего решения этой задачи, но для нахождения локального максимально правдоподобного результата может быть эффективно использован Алгоритм Баума-Велша. Если же СММ используется для прогнозирования временных рядов, то можно использовать более изощренный метод, такой как Марковская цепь Монте-Карло, что оказалось благоприятным для нахождения одной модели вероятности как с точки зрения точности, так и стабильности. Поскольку в МЦМК возникают значительные вычислительные нагрузки, то в случаях, когда вычислительная масштабируемость представляет также интерес, можно также прибегнуть к вариационной аппроксимации Байесовского вывода. Действительно, приближенный вариационный вывод предлагает вычислительную эффективность, сравнимую с максимизацией ожидания,ведь пока производящий профиль точности лишь немного уступает точной МЦМК-типа Байесовского вывода.

См. также

• Алгоритм Витерби — делает наилучшее предположение о последовательности состояний скрытой модели на основе последовательности наблюдений.
• Алгоритм "Вперед-Назад" — находит вероятность попадания в состояние [math]s_n[/math] на [math]t[/math]-ом шаге.
• Алгоритм Баума-Велша — меняет [math]a_{ij}[/math], максимизируя вероятность наблюдения последовательности событий [math]O[/math].

Источники информации

• Wikipedia — Hidden Markov model
• Introduction in Hidden Markov models
• A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition