Изменения

а плоскость <math>P_2</math> не является(отсутствует нейтральный элемент относительно сложения).

Алиса будет получать получать

==Базисы векторного Векторные пространстваи определители==Вспомним несколько фактов о векторных пространствахиз линейной алгебры.

===Единственность разложенияв базис===

\vec{A} = \sum_{i=1}^d\alpha_i\vec{e}_i = \sum_{i=1}^d\beta_i\vec{f}_i \ \land\ \vec{e}_i = \sum_{j=1}^d c_{ij}\vec{f}_j</math> <math>\displaystyle\

\sum_{j=1}^d \vec{f}_j \sum_{i=1}^d \alpha_i c_{ij}</math> <math>\displaystyle\

==Определения=Определитель=== Следующий факт позволяет красиво записывать один подозрительно часто появляющийся определитель. <math> \displaystyle\begin{vmatrix}a_1 - p \\ a_2 - p \\ \vdots \\ a_n - p\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_1 - p & 0 \\ a_2 - p & 0 \\ \vdots & \vdots \\ a_n - p & 0 \\ p & 1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a_1 & 1 \\ a_2 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ a_n & 1 \\ p & 1\end{vmatrix}</math> ==Аффинные пространства==

|definition='''Аффинное пространство''' – — это либо вырожденное пустое множество, либо кортеж <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, состоящий из непустого множества точек <math>A</math>, векторного пространства <math>V</math> и действия <math>(+) : A \times V \rightarrow A</math>, удовлетворяющего следующим свойствам:

|definition=Если <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство, то <math>B \subset A</math> является '''аффинным подпространством''' пространства <math>\langle A, V, (+)\rangle</math>, если любая аффинная комбинация любого множества точек из <math>B</math> принадлежит <math>B</math>.

|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство.

===Аффинная независимостьи базисы===

|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> – — множество точек из <math>A</math>. Если для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, то для любого <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> будет линейно независимо.|proof=Пусть для какого-то <math>i \in I</math> множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо, <math>k \in I</math> и пусть есть такой набор <math>\{\lambda_j\}_{j \in I \setminus \{k\}}</math>, что <math>\displaystyle \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_j} = 0</math>. Поскольку <math>\overrightarrow{a_k a_j} = \overrightarrow{a_k a_i} + \overrightarrow{a_i a_j}</math>, мы имеем <math> \displaystyle \begin{aligned}\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_j} &=\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_i} + \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} \\&= \sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_k a_i} + \sum_{j \in I \setminus \{i,k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} \\&= \sum_{j \in I \setminus \{i,k\}} \lambda_j \cdot \overrightarrow{a_i a_j} - \left(\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j\right) \cdot \overrightarrow{a_i a_k} = 0 \text{.}\end{aligned}</math> Из этого следует, что <math>\forall j \in (I \setminus \{i, k\}) : \lambda_j = 0</math> и <math>\sum_{j \in I \setminus \{k\}} \lambda_j = 0</math>, поскольку набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независим. Значит, <math>\forall j \in (I \setminus \{k\}) : \lambda_j = 0</math>, то есть линейная комбинация тривиальна.

|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> – — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> '''аффинно независимо''', если для какого-то <math>i \in I</math> множество <math>\{\overrightarrow{a_i a_j}\}_{j \in I \setminus \{i\}}</math> линейно независимо.}}В аффинном пространстве справедлив факт, подобный единственности разложения вектора в ЛНЗ базис в векторном пространстве.{{Лемма|statement=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Пусть <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math> — множество точек из <math>A</math>. Пусть <math>x \in A</math> представима в виде аффинной комбинации <math>\{a_i\}_{i=0}^n</math>. Тогда набор коэффициентов аффинной комбинации <math>\{\lambda_i\}_{i=0}^n</math>, что <math>x = \sum_{i=0}^n \lambda a_i</math>, единственен тогда и только тогда, когда набор векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> линейно независим.|proof=Докажем единственность из линейной независимости. Пусть есть две аффинные комбинации с коэффициентами <math>\{\alpha_i\}_{i=0}^n</math> и <math>\{\beta\}_{i=0}^n</math>, дающие x. Посчитаем их, взяв за точку начала отсчёта точку <math>a_0</math>: <math>\displaystylex= a_0 + \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}= a_0 + \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}</math>. Получаем, что  <math>\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}= \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot \overrightarrow{a_0 a_i}</math>. По [[#vectorUniqueness|лемме для векторного пространства]] такое разложение единственно, <math>\forall i \in \left[1..n\right] : \alpha_i = \beta_i \implies \alpha_0 = \beta_0</math>. В обратную сторону доказывается идентично.}}Имеет смысл определить понятие базиса в аффинном пространстве.{{Определение|definition=Пусть <math>\langle A, V, (+)\rangle</math> — это аффинное пространство. Множество точек <math>\{a_i\}_{i \in I}</math> будет называться '''аффинным базисом''' этого пространства, если множество векторов <math>\{\overrightarrow{a_0 a_i}\}_{i=1}^n</math> будет базисом <math>V</math>. '''Барицентрическими координатами''' точки будут коэффициенты её аффинного разложения в этом базисе.

У нас есть гиперплоскость <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>d</tex> мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно аффинно независимых (ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творчески. {{Определение |definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимым''', если мы можем выбрать одну из них, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ вектор.}}

Возьмем в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>. Получившийся Если она не лежит в гиперплоскости, то получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_d, p</tex> тоже будет ЛНЗаффинно независимым.

[[Файл:drawing-3.png|400px|thumb|right|Пример для <tex>\mathbb{R}^3</tex>]]Пусть у нас есть какая-то выделенная зарание заранее система координат <tex>C</tex>. Эта система приходит обычно вместе с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.

Мы знаем, что можно составить матрицу переходаиз начальной системы координат координат <tex>C</tex> в систему координат на векторах <math>\{\overrightarrow{p a_i}\}_{i=1}^d</math>, если умеем можно выразить координаты векторов эти вектора в исходной базовой системе координат <texmath>C</texmath>.А в нашем случае мы это сделать, конечно, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек, просто сопредставим сопоставим нашим точкам вектора, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.

Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем еёопределитель:[[Файл:drawing-3.png|400px|thumb|right|Пример для <tex>R^3</tex>]]

<tex>\det A ^ \mathrm{T}= \begin{pmatrixvmatrix} \overrightarrow{Oa_1} - \overrightarrow{Op} \\ \overrightarrow{Oa_2} - \overrightarrow{Op} \\ \vdots \\ \overrightarrow{Oa_d} - \overrightarrow{Op} \end{pmatrix}^ \mathrm{Tvmatrix} =\begin{pmatrixvmatrix} a_1 - p \\ a_2 - p\\ \vdots \\ a_d - p \end{pmatrixvmatrix}^ \mathrm{T} =\begin{pmatrixvmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{pmatrix}^ \mathrm{Tvmatrix}</tex>.

В дальнейшем нас будут интересовать детерминант этой матрицы и его знак: <tex>\det(A) = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ p & 1 \end{vmatrix}</tex>этого детерминанта.

|proof= По определению выпуклого множества. Возьмем две любые точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащие в одной области. По аксиоматике существует вектор <tex>\overrightarrow{p_1p_2}</tex> и по определению можно сделать линейную комбинацию. Значит можем получить любую точку между <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex>, лежащую с ними на одной прямой, отложив от <tex>p_1</tex> вектор <tex>\alpha \cdot \overrightarrow{p_1p_2}</tex>, где <tex>\alpha \in [0..1]</tex>. Если подставить это в определитель, и вспомнить, что <math>1 = \alpha + (1 - \alpha)</math>, то получим <tex>\begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ p_1 + \alpha \cdot \overrightarrow{p_1p_2} & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ \alpha p_2 + (1 - \alpha)p_1 & 1 \end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ p_2 & 1 \end{vmatrix} +(1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \vdots & \vdots \\ a_d & 1 \\ p_1 & 1 \end{vmatrix} </tex>.

Эта история о том, что даже когда мы притворяемся, что у нас нет метрики, мы неявно испоользуем топологию, индуцированную этой метрикой. Но, метрика, не единственна, и топология не единственна. Иногда нам достаточно топологии, которая даже может быть не индуцирована метрикой, или которая вообще не метризуема, но эта топология будет давать свойство непрерывности. Но тогда для нашей топогогии нужно будет доеказывать доказывать вышеупомянутый факт (про непрерывность кривой).