Лемма о рукопожатиях

Неориентированный граф

Лемма:

Сумма степеней всех вершин графа (или мультиграфа без петель) — чётное число, равное удвоенному числу рёбер: [math] \sum\limits_{v\in V(G)} deg\ v=2\cdot|E(G)|[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем пустой граф. Сумма степеней вершин такого графа равна нулю. При добавлении ребра, связывающего любые две вершины, сумма всех степеней увеличивается на 2 единицы. Таким образом, сумма всех степеней вершин чётна и равна удвоенному числу рёбер.

[math]\triangleleft[/math]

Например, для следующего графа выполнено: [math]deg(1)+\ldots+deg(6)=16=2\cdot|E|[/math]

Следствие 1. В любом графе число вершин нечётной степени чётно.

Следствие 2. Число рёбер в полном графе [math]\frac{n\cdot(n-1)}{2} [/math].

Ориентированный граф

Лемма:

Сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа — чётное число, равное удвоенному числу рёбер: [math]\sum\limits_{v\in V(G)} deg^{-}\ v \; + \sum\limits_{v\in V(G)} deg^{+}\ v=2\cdot |E(G)| [/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]deg^{-}+deg^{+}=10=2\cdot |E|[/math] Аналогично доказательству леммы о рукопожатиях неориентированном графе. То есть возьмем пустой граф и будем добавлять в него рёбра. При этом каждое добавление ребра увеличивает на единицу сумму входящих и на единицу сумму исходящих степеней. Таким образом, сумма входящих и исходящих степеней всех вершин ориентированного графа чётна и равна удвоенному числу рёбер.

[math]\triangleleft[/math]

Бесконечный граф

Пример бесконечного графа, в котором не выполняется лемма

В бесконечном графе лемма не работает, даже в случае с конечным числом вершин нечётной степени. Покажем это на примере.

При выборе бесконечного пути из вершины [math] V [/math] (см. рисунок справа) имеем путь, в котором все вершины кроме стартовой имеют чётную степень, что противоречит следствию из леммы.

Регулярный граф

Определение:

Граф называется регулярным, если степени всех его вершин равны.

Утверждение:

В регулярном графе с [math] n [/math] вершинами ровно [math]\frac{k\cdot n}{2} [/math] рёбер.

Утверждение:

Если степень каждой вершины нечётна и равна [math] k[/math], то количество рёбер кратно [math] k [/math].

[math]\triangleright[/math]

Регулярный граф с [math]\frac{k\cdot n}{2} = \frac{3\cdot 6}{2}=9 [/math] рёбрами Действительно, так как степень каждой вершины нечётна, то число вершин в графе чётно(так сумма степеней всех вершин чётна). Пусть [math] n = 2\cdot r [/math], то равенство принимает вид [math]|E| =\frac{k\cdot n}{2} = \frac{2\cdot k\cdot r}{2}=k\cdot r [/math], то есть количество рёбер кратно [math] k[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Lecture Notes on Graph Theory By Tero Harju, Department of Mathematics University of Turku, 2011 — с. 7-8
• Handshaking lemma — Wikipedia