Определения, 2 семестр, Кохась К.П.

* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ

ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ

2 семестр

http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Yulya3102/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD - здесь больше

Определения

1. Ряды Тейлора основных элементарных функций

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0#.D0.A0.D1.8F.D0.B4.D1.8B_.D0.9C.D0.B0.D0.BA.D0.BB.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BD.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BA.D0.BE.D1.82.D0.BE.D1.80.D1.8B.D1.85_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B9

2. Локальный экстремум

Пусть функция ƒ(x) определена в некоторой окрестности ε = (х0 - δ, x0 + δ), δ>0 , некоторой точки x0. 1.) Точка x0 называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≤ ƒ(х0) , ∀x < ε 2.) Точка x0 называется точкой локального минимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≥ ƒ(х0) , ∀x < ε Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

http://94.143.53.100/SUMIK/e-SUMIK-Matematika/objects/biblioteka/Matematika/MESI-bibl-matem/Vischaya%20matematika/G5_14_1.htm

3. Точка возрастания функции

http://94.143.53.100/SUMIK/e-SUMIK-Matematika/objects/biblioteka/Matematika/MESI-bibl-matem/Vischaya%20matematika/G5_14_1.htm

4. Критическая точка

Критической точкой дифференцируемой функции называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль.

5. Выпуклая функция

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента [math] x, y [/math], и для любого числа [math] t \in [0,1] [/math] выполняется неравенство Йенсена: [math] f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y) [/math]

6. Выпуклое множество в [math] R^m [/math]

Множество (область) [math] G [/math] называется выпуклым, если из того, что [math] x_1 \in G [/math] и [math] x_2 \in G [/math] следует, что [math] x = \lambda x_1 + (1- \lambda)x_2 \in G [/math] для [math] \forall \lambda \in [/math] [0,1]. Другими словами, G - выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.

7. Надграфик и подграфик

Пусть f(x) определена на некотором интервале. Тогда множество y≥f(x), где х принадлежит интервалу, называется надграфиком, а множество y<f(x), где x принадлежит интервалу, — подграфиком. Слова ужасные, но любого человека cпроси — ему будет ясно, что имеется в виду.

8. Опорная прямая

Опорная прямая к плоскому множеству M в его точке P – это такая прямая, проходящая через P, что множество M лежит целиком в одной (замкнутой) полуплоскости, ограниченной этой прямой. Касательная к окружности, прямая, содержащая любую сторону выпуклого многоугольника, прямая, проходящая через вершину многоугольника и не имеющая с ним других общих точек, – примеры опорных прямых к указанным фигурам. Понятие опорной прямой играет важную роль в теории выпуклых множеств.

9. Первообразная

Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

10. Таблица первообразных

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%91%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB#.D0.A2.D0.B0.D0.B1.D0.BB.D0.B8.D1.86.D0.B0_.D0.BE.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B2.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.BD.D0.B5.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.91.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D1.85_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.BE.D0.B2

11. Дробление отрезка

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 6

12. Дробление параллелепипеда

параллелепипед задаётся двумя точками a, b в R^M. Его дробление [math] \lambda [/math] — множество дроблений [math] \lambda_1 .. \lambda_m [/math], где [math] \lambda_i[/math] — дробление отрезка [math] a_i .. b_i [/math].

13. Что значит, что одно дробление мельче другого

Дробление a мельче дробления b, если набор точек дробления a содержится в наборе этих точек для b. И это для отрезка, а для параллелепипеда дробление мельче, если для всех описанных выше дроблений из лямбды верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.

14. Сумма Дарбу

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 9

15. Верхний интеграл Дарбу

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 12

16. Интегрируемая по Риману функция

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 15

*17. Интеграл функции по параллелепипеду

???

18. Риманова сумма

Определение:

Пусть [math]\overline{x_k}[/math] — произвольное [math]x[/math] из [math]\left [ x_k,x_{k+1} \right ][/math], [math]f[/math] — функция, заданная на отрезке [math][a; b][/math], [math]\tau[/math] — разбиение отрезка [math][a; b][/math]. Тогда [math]\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )[/math] (также обозначается как [math]\sigma \left ( f, \tau \right )[/math] или [math]\sigma \left ( \tau \right )[/math]) [math]~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}[/math] [math]f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}[/math] называется интегральной суммой Римана по разбиению [math]\tau[/math].

[math]I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )[/math] [math]\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} [/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau\lt \delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | \lt \varepsilon[/math]

19. Колебание функции на множестве

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 14

21. Множество меры 0

Говорят, что множество [math]E\subset\mathbb{R}[/math] имеет нулевую меру, если [math]\forall\varepsilon\gt 0[/math] множество [math]E[/math] можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше [math]\varepsilon[/math].

22. Интеграл с переменным верхним пределом

http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf страница 29

23. Кусочно-непрерывная функция

Функция [math]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/math] называется кусочно-непрерывной на [math][a,b][/math], если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.

25. Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

1. Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
2. Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Теоремы

Правило Лопиталя

f,g: (a;b) -> R; a принадлежит R с чертой; f,g дифференцируемы на (a;b); g' != 0 на (a;b); lim f(x)/g(x) имеет неопределенность вида 0/0 или inf/inf; lim f'(x)/g'(x) = L, L принадлежит R с чертой. Тогда существует lim f(x)/g(x) = L; везде x -> a + 0.

*Замечание о представимости функции рядом Тейлора

???(муть записана)