Определения, 2 семестр, Кохась К.П. — различия между версиями
(→Определения) |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
| (не показано 8 промежуточных версий 3 участников) | |||
| Строка 3: | Строка 3: | ||
'''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' | '''ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ''' | ||
= 2 семестр = | = 2 семестр = | ||
| + | http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Yulya3102/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD - здесь больше | ||
== Определения == | == Определения == | ||
===1. Ряды Тейлора основных элементарных функций === | ===1. Ряды Тейлора основных элементарных функций === | ||
| Строка 50: | Строка 51: | ||
страница 6 | страница 6 | ||
| − | === | + | ===12. Дробление параллелепипеда === |
| − | + | параллелепипед задаётся двумя точками a, b в R^M. Его дробление <tex> \lambda </tex> — множество дроблений <tex> \lambda_1 .. \lambda_m </tex>, где <tex> \lambda_i</tex> — дробление отрезка <tex> a_i .. b_i </tex>. | |
===13. Что значит, что одно дробление мельче другого === | ===13. Что значит, что одно дробление мельче другого === | ||
| − | + | Дробление a мельче дробления b, если набор точек дробления a содержится в наборе этих точек для b. | |
| + | И это для отрезка, а для параллелепипеда дробление мельче, если для всех описанных выше дроблений из лямбды верно, что дробление из одного мельче дробления из другого. | ||
===14. Сумма Дарбу === | ===14. Сумма Дарбу === | ||
| Строка 70: | Строка 72: | ||
===*17. Интеграл функции по параллелепипеду=== | ===*17. Интеграл функции по параллелепипеду=== | ||
??? | ??? | ||
| + | |||
| + | ===18. Риманова сумма=== | ||
| + | {{Определение | ||
| + | |definition= | ||
| + | Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>. | ||
| + | |||
| + | Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> | ||
| + | (также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>) | ||
| + | <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> | ||
| + | называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>. | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | <tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon</tex> | ||
| + | |||
| + | ===19. Колебание функции на множестве=== | ||
| + | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf | ||
| + | страница 14 | ||
| + | |||
| + | ===20. Множество объема 0=== | ||
| + | |||
| + | ===21. Множество меры 0=== | ||
| + | Говорят, что множество <tex>E\subset\mathbb{R}</tex> имеет '''нулевую меру''', если <tex>\forall\varepsilon>0</tex> множество <tex>E</tex> можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше <tex>\varepsilon</tex>. | ||
| + | |||
| + | ===22. Интеграл с переменным верхним пределом=== | ||
| + | http://dl.dropbox.com/u/42066744/%D0%9E%D1%87%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%BD%D0%BE/%D0%9E.%D0%9B.%D0%92%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%B2%20%D1%82%D0%BE%D0%BC%202.pdf | ||
| + | страница 29 | ||
| + | |||
| + | ===23. Кусочно-непрерывная функция=== | ||
| + | Функция <tex>f:[a,b]\to\mathbb{R}</tex> называется '''кусочно-непрерывной''' на <tex>[a,b]</tex>, если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода. | ||
| + | |||
| + | ===24. Почти первообразная=== | ||
| + | |||
| + | ===25. Несобственный интеграл=== | ||
| + | Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: | ||
| + | #Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; | ||
| + | #Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b]. | ||
== Теоремы == | == Теоремы == | ||
Текущая версия на 19:21, 4 сентября 2022
* - ТРЕБУЕТ ДОРАБОТКИ
ЕСЛИ НАХОДИТЕ ОШИБКИ ИСПРАВЛЯЙТЕ
Содержание
- 1 2 семестр
- 1.1 Определения
- 1.1.1 1. Ряды Тейлора основных элементарных функций
- 1.1.2 2. Локальный экстремум
- 1.1.3 3. Точка возрастания функции
- 1.1.4 4. Критическая точка
- 1.1.5 5. Выпуклая функция
- 1.1.6 6. Выпуклое множество в [math] R^m [/math]
- 1.1.7 7. Надграфик и подграфик
- 1.1.8 8. Опорная прямая
- 1.1.9 9. Первообразная
- 1.1.10 10. Таблица первообразных
- 1.1.11 11. Дробление отрезка
- 1.1.12 12. Дробление параллелепипеда
- 1.1.13 13. Что значит, что одно дробление мельче другого
- 1.1.14 14. Сумма Дарбу
- 1.1.15 15. Верхний интеграл Дарбу
- 1.1.16 16. Интегрируемая по Риману функция
- 1.1.17 *17. Интеграл функции по параллелепипеду
- 1.1.18 18. Риманова сумма
- 1.1.19 19. Колебание функции на множестве
- 1.1.20 20. Множество объема 0
- 1.1.21 21. Множество меры 0
- 1.1.22 22. Интеграл с переменным верхним пределом
- 1.1.23 23. Кусочно-непрерывная функция
- 1.1.24 24. Почти первообразная
- 1.1.25 25. Несобственный интеграл
- 1.2 Теоремы
- 1.3 *Замечание о представимости функции рядом Тейлора
- 1.1 Определения
2 семестр
http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Yulya3102/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BD - здесь больше
Определения
1. Ряды Тейлора основных элементарных функций
2. Локальный экстремум
Пусть функция ƒ(x) определена в некоторой окрестности ε = (х0 - δ, x0 + δ), δ>0 , некоторой точки x0. 1.) Точка x0 называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≤ ƒ(х0) , ∀x < ε 2.) Точка x0 называется точкой локального минимума, если в некоторой такой окрестности ε выполняется неравенство ƒ(x) ≥ ƒ(х0) , ∀x < ε Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.
3. Точка возрастания функции
4. Критическая точка
Критической точкой дифференцируемой функции называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль.
5. Выпуклая функция
Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.
Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпукла, если для любых двух значений аргумента , и для любого числа выполняется неравенство Йенсена:
6. Выпуклое множество в
Множество (область) называется выпуклым, если из того, что и следует, что для [0,1]. Другими словами, G - выпуклое множество, если оно, вместе с любыми двумя своими точками, содержит в себе отрезок, соединяющий эти точки.
7. Надграфик и подграфик
Пусть f(x) определена на некотором интервале. Тогда множество y≥f(x), где х принадлежит интервалу, называется надграфиком, а множество y<f(x), где x принадлежит интервалу, — подграфиком. Слова ужасные, но любого человека cпроси — ему будет ясно, что имеется в виду.
8. Опорная прямая
Опорная прямая к плоскому множеству M в его точке P – это такая прямая, проходящая через P, что множество M лежит целиком в одной (замкнутой) полуплоскости, ограниченной этой прямой. Касательная к окружности, прямая, содержащая любую сторону выпуклого многоугольника, прямая, проходящая через вершину многоугольника и не имеющая с ним других общих точек, – примеры опорных прямых к указанным фигурам. Понятие опорной прямой играет важную роль в теории выпуклых множеств.
9. Первообразная
Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
10. Таблица первообразных
11. Дробление отрезка
12. Дробление параллелепипеда
параллелепипед задаётся двумя точками a, b в R^M. Его дробление — множество дроблений , где — дробление отрезка .
13. Что значит, что одно дробление мельче другого
Дробление a мельче дробления b, если набор точек дробления a содержится в наборе этих точек для b. И это для отрезка, а для параллелепипеда дробление мельче, если для всех описанных выше дроблений из лямбды верно, что дробление из одного мельче дробления из другого.
14. Сумма Дарбу
15. Верхний интеграл Дарбу
16. Интегрируемая по Риману функция
*17. Интеграл функции по параллелепипеду
???
18. Риманова сумма
| Определение: |
| Пусть — произвольное из , — функция, заданная на отрезке , — разбиение отрезка .
Тогда (также обозначается как или ) называется интегральной суммой Римана по разбиению . |
19. Колебание функции на множестве
20. Множество объема 0
21. Множество меры 0
Говорят, что множество имеет нулевую меру, если множество можно заключить в не более чем счетное объединение интервалов, суммарная длина которых меньше .
22. Интеграл с переменным верхним пределом
23. Кусочно-непрерывная функция
Функция называется кусочно-непрерывной на , если множество ее точек разрыва пусто или конечно, и все имеющиеся разрывы - первого рода.
24. Почти первообразная
25. Несобственный интеграл
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
- Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
- Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Теоремы
Правило Лопиталя
f,g: (a;b) -> R; a принадлежит R с чертой; f,g дифференцируемы на (a;b); g' != 0 на (a;b); lim f(x)/g(x) имеет неопределенность вида 0/0 или inf/inf; lim f'(x)/g'(x) = L, L принадлежит R с чертой. Тогда существует lim f(x)/g(x) = L; везде x -> a + 0.
*Замечание о представимости функции рядом Тейлора
???(муть записана)
