Изменения

Пусть [[Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах|<tex>f \in L_1</tex>, <tex]][[Лемма Римана-Лебега|>\sigma (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex>]]

Пусть <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma_n (f, x) = \int\limits_Q f(x + t) \Phi_n(t)dt</tex> <tex>(\sigma_n(f, x) = \frac{1}{n+1} \sum\limits_{k = 0}^n s_kS_k(f))</tex>

{{Определение|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', еслив этой точке существуют односторонние пределы.}}Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.  Пусть точка <tex>x</tex> регулярна, то есть, <tex>f\varphi_x(x + t) \xrightarrow[tstackrel{\to +0]mathrm{def} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>. Тогда <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x + t) - f(x - t)| < \varepsilon</tex>. Значит, для таких <tex>t</tex>: <tex>|= f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - s| + |f(x - t) - s| < 2\varepsilon</tex>, и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon dt = 2\varepsilon</tex>. Тем самым, в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке.  Часто всё это называют следствием Фейера о двух пределах. Теперь, собственно, доказательство.

<tex>\varphi_x(t) \stackrel{\mathrm{def}}= f(x - t) + f(x + t) - 2s</tex> Используя результаты, полученные [[Интеграл_Фейера|здесь]], <tex>\sigma_n(f, x) - s = \int\limits_0^\pi \varphi_x(t)\frac1{2\pi(n+1)} \frac{\sin^2\frac{n + 1}{2}t}{\sin^2\frac t2} dt</tex>

Воспользуемся положительностью <tex>\Phi_n</tex>: <tex>|\sigma_n(f, x) - s| \leq \int\limits_0^\pi |\varphi_x(t)|\Phi_n(t)| dt</tex>. Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю.

Пусть Нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю. Разобьем его на два интеграла: <tex>h_n = \frac1n</tex>, <tex>\int\limits_0^\pi = \int\limits_0^{h_n} + \int\limits_{h_n}^\pi</tex>, и рассмотрим по отдельности.

|statement=<tex>\int\limits_0^{h_n}|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>

<tex>\int\limits_{h_n}^\pi|\varphi_x(t)| \frac1{2\pi(n+1)}\frac{\sin^2\frac{n+1}2t}{\sin^2\frac t2} dt \to 0</tex>

<tex>\leq \int\limits_{h_n}^\pi |\varphi_x(t)| \frac{\pi^2}{2\pi t^2(n+1)} dt = </tex><tex>\frac\pi2 \frac1{n+1} \int\limits_{h_n}^\pi\frac{|\varphi_x(t)|}{t^2} dt \le \frac\pi4 pi2 h_n \int\limits_{h_n}^\pi \frac1{t^2}d\Phi_x(t) = </tex>

(<tex>\Phi_x(t) = \int\limits_{0}^{t} |\phi_x(y)| dy </tex>; проинтегрируем по частям. '''Здесь <tex>\Phi_x(t)</tex> {{---}} НЕ ядро Фейера, а просто определённый интеграл''')

<tex>= \frac\pi4 pi2 h_n \left(\frac1{t^2}\Phi_x(t) \bigg|_{h_n}^{\pi} + 2\int\limits_{h_n}^\pi \Phi_x(t) \frac1{t^3} dt \right)</tex>.

<tex>\frac1{\pi^2} \Phi_x(\pi) \to 0</tex> - числоконстанта, <tex> h_n \to 0</tex>;

<tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{TODO|t^3} dt =очень сумбурно написано, переписать на что-то более читабельное или передоказать</tex><tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2}dt</tex> По условию теоремы, <tex> \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \to 0 </tex>. Распишем это по определению: <tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex>.

Пусть, начиная с какого-то <tex>h_n \int\limits_{h_n}^\pi\Phi_x(t) \frac1{t^3} dt = N</tex>, <tex>h_n\int\limits_{h_n}^\pi \left(\frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)| dy \right) \frac1{t^2} dt</tex><tex>\forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : \frac1t\int\limits_0^t|\varphi_x(y)|dy < \varepsilon</tex> начиная с <tex>n : h_n < \delta</tex>

Второй интеграл <tex>h_n \int\limits_\delta^\pi \to 0</tex>, так как <tex>\int\limits_\delta^\pi</tex> {{---}} число константа для данного <tex>\delta</tex>, а <tex>h_n \to 0</tex>.

Оба интеграла стремятся к нулю, теорема Фейера доказана. [давно пора, нифига ж себе она длинная]

{{Определение|definition=Точку <tex>x</tex> принято называть '''регулярной''', еслив этой точке существуют односторонние пределы.}}Например, любая точка непрерывности {{---}} регулярная.  {{Утверждение|about=следствие Фейера о двух пределах|statement=Пусть точка <tex>x</tex> — регулярная, тогда в ней <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>|proof=Пусть <tex>s = \frac{f(x - 0) + f(x + 0)}{2} </tex>. Так как <tex>f(x + t) \xrightarrow[t\to +0]{} f(x + 0), f(x - t) \xrightarrow[t\to -0]{} f(x - 0) </tex>, по определению предела <tex> \forall\varepsilon\exists\delta : 0 < t < \delta : |f(x \pm t) - f(x \pm 0)| < \varepsilon</tex>. Для таких <tex>t</tex>: <tex>|f(x + t) + f(x - t) - 2s| \leq |f(x + t) - f(x + 0)| + |f(x - t) - f(x - 0)| < 2\varepsilon</tex>, и интересующий нас интеграл <tex>\frac1t\int\limits_0^t|f(x+t)+f(x-t)-2s| \leq \frac1t\int\limits_0^t2\varepsilon = 2\varepsilon</tex>. Значит, условие теоремы Фейера для данного интеграла выполняется, и в регулярной точке, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sigma_n(f, x) = \frac{f(x + 0) + f(x - 0)}2 </tex>. В частности, в точке непрерывности функции суммы Фейера всегда сходятся к значению функции в данной точке. }}  Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>(непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,

<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex>(здесь мы воспользовались неравенством Гельдера). Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>.Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:

<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (воспользуемся теоремой по [[Теорема Фубини|теореме Фубини]] меняем порядок интегрирования)

<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p dx)dt =</tex> <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t) (\int\limits_{Q} |f(x)|^p dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.

<tex>\delta_nsigma_n(f) \in H_n</tex>, <tex>E_n(f)_p \leq \|f-\delta_psigma_p(f)\|_p</tex>

[[Пространство L_p(E)|Ранее]] нами уже было доказано, что пространство <tex>C</tex> всюду плотно в <tex>L_p</tex> : <tex>\forall\varepsilon>0\forall g\in L_p\exists \varphi \in C : \|g - \varphi\|_p<\varepsilon</tex>.

<tex>\|\sigma_n(g) - g\|_p = \|(\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) - (g - \varphi) + (\sigma_n(\varphi) - \varphi)\|_p \leq</tex>(по [[Интеграл_Фейера|записи интеграла Фейера]] очевидно <tex>\sigma_n(g) - \sigma_n(\varphi)) = \sigma_n(g - \varphi)</tex>)

<tex>\leq \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p + \underset{\leq \varepsilon}{\underbrace{\|g - \varphi\|_p [\leq \varepsilon] }} + \|\sigma_n(\varphi) - \varphi\|_p </tex>.

По доказанному только что утверждению, <tex> \|\sigma_n(g-\varphi)\|_p \leq \|g-\varphi\|_p \leq \varepsilon </tex>; второе слагаемое не превосходит <tex> \varepsilon </tex> по выбору <tex> \varphi </tex>.

<tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>