Пространство линейных операторов

Рассмотрим [math]X \times Y = \{[/math] все Л.О. [math]\mathcal{A} \colon X \to Y\}[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A}, \mathcal{B} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A}, \mathcal{B} \in X \times Y[/math] Отображение [math]\mathcal{C}[/math] называется суммой [math]\mathcal{A}[/math] и [math]\mathcal{B}\ (\mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B})[/math], если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{C}x = \mathcal{A}x + \mathcal{B}x[/math]

Определение:

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to Y;\quad \mathcal{A} \in X \times Y[/math] Отображение [math]\mathcal{D}[/math] называется произведением [math]\mathcal{A}[/math] на число [math]\lambda\ (\mathcal{D} = \mathcal{A} \cdot \lambda)[/math], если [math]\forall x \in X \colon \mathcal{D}x = \lambda \mathcal{A}x[/math]

Лемма:

[math]\mathcal{C}[/math] и [math]\mathcal{D}[/math] — суть(являются) линейные операторы

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Покажем, что: [math]\mathcal{C}(x_1 + x_2) = \mathcal{C}x_1 + \mathcal{C}x_2[/math] [math]\mathcal{C}(\lambda x) = \lambda \mathcal{C}x[/math] Аналогично, покажем то же самое для [math]\mathcal{D}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]X \times Y[/math] — линейное пространство над полем [math]F[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим все 8 аксиом лп. Все они будут выполняться: [math]\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X \times Y[/math] (коммутативность сложения); [math]\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}[/math], для любых [math]\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in X \times Y[/math] (ассоциативность сложения); существует такой элемент [math]\theta \in X \times Y[/math], что [math]\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}[/math] для любого [math]\mathbf{x} \in X \times Y[/math] (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности [math]X \times Y[/math] не пусто; для любого [math]\mathbf{x} \in X \times Y[/math] существует такой элемент [math]-\mathbf{x} \in X \times Y[/math], что [math]\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta[/math] (существование противоположного элемента относительно сложения). [math]\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}[/math] (ассоциативность умножения на скаляр); [math]1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}[/math] (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор). [math](\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}[/math] (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров); [math]\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}[/math](дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

[math]X \times Y[/math] называется прямым произведением пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math]

Лемма:

Пусть [math]\mathcal{A} \leftrightarrow A[/math], [math]\mathcal{B} \leftrightarrow B[/math], [math]\mathcal{C} \leftrightarrow C[/math], [math]\mathcal{D} \leftrightarrow D[/math] [math] \mathcal{C} = \mathcal{A} + \mathcal{B}[/math], [math] \mathcal{D} = \lambda \mathcal{A}[/math] Тогда: [math]C = A + B;\quad D = \lambda A[/math]

Теорема:

Пусть [math]F_n^m = \{[/math] все матрицы [math]A_{[m \times n]} = \begin{Vmatrix} \alpha^i_k \end{Vmatrix},\ \alpha^i_k \in F \}[/math] [math]X \times Y[/math] изоморфно [math]F_n^m[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math] \mathcal{A} \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{\longleftrightarrow} A[/math] (единственным образом) [math] \{e_i\}_{i=0}^{n}[/math] — базис [math]X ;\quad \{h_k\}_{k=0}^{m}[/math] — базис [math]Y[/math] Рассмотрим [math]\mathcal{E}_k^i \colon X \to Y [/math] по формуле [math]\mathcal{E}_k^i x \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \xi^{i} h_k; \quad x \overset{\underset{\mathrm{!}}{}}{=} \sum\limits_{i=0}^{n} \xi^i e_i[/math] Матрица [math]\mathcal{E}^i_k e_j = \delta^i_j h_k[/math] [math]e_j = \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \leftarrow j[/math] [math]\mathcal{E}^i_k \longleftrightarrow E^i_k = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix} \leftarrow h_k \\ [/math] Базис [math]F_n^m[/math] состоит из таких же матриц

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

[math]\{\mathcal{E}^i_k\}^{i = \overline{1, n}}_{k = \overline{1, m}}\ [/math] — базис [math]X \times Y[/math]

Ссылки

• Линейный оператор

Источники

• Анин конспект