Изменения

{{В разработке}}'''Алгоритм Фарача Фараха''', разработанный в 1997 году американским ученым Мартином Фарах-Колтоном (Martin Farach,(1997)-Colton)''' {{---}} алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex> длины <tex>N</tex>. Сам алгоритм выполнятеся выполняется за время <tex>O(N)</tex>, причём даже не требуется выполнения выполнение условия конечности алфавита. Такая эффективность достигается за счет счёт того, что строковые последовательности определяются на индексированном алфавите или, что эквивалентно, на целочисленном алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2 \dots , k\}</tex>. При этом накладывается дополнительное условие, что <tex>k = O(N)</tex>. Такие алфавиты часто встречаются на практике. Важно помнить, что алгоритм скорее теоретический, чем нежели практический, а основная его ценность его заключается в том, что размер алфавита может быть произвольным.

Идея алгоритма заключается состоит в том, что мы уменьшаем размер исходной строки, строим суффиксное дерево для неё рекурсивно, а потом получаем из построенного дерево для текущей строки. Для этого мы разбиваем символы сходной исходной строки на пары и нумеруем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче.

Алгоритм Фарача Фараха будет описан в виде пяти выполняемых шагов. Используем в качестве примера строку <tex>s = 121112212221</tex>, определенную на алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2\} </tex> (в этом примере <tex>N = 12</tex>).

*: (если символов нечетное нечётное число {{---}} последняя пара дополняется специальным символом <tex>\$</tex>).* Пары сортируются устойчивой сотрировкой сортировкой (удобно сортировать [[Цифровая_сортировка | поразрядной]], так как число разрядов мало, размер алфавита — <tex>O(n)</tex>, поэтому то время работы сортировки — линейное): <tex> \langle 11 \rangle \langle 12\rangle \langle 12\rangle \langle 21\rangle \langle 21\rangle \langle22\rangle </tex>.

* Парам даются номера (условно, в массиве они и так есть): <tex>\langle 11 \rangle -(0), \langle 12\rangle -(1), \langle 21\rangle - (2), \langle 22\rangle-(3)</tex>.* В исходной строке пары заменяются на номера: <tex>1 0 1 2 3 2</tex>.* Из полученной строки вдвое меньшего размера рекурсивно создаётся [[Сжатое суффиксное дерево | суффикcное дерево]] тем же алгоритмом:[[Файл:tree101232.png|300px|суффиксное дерево для сжатой строки]] '''Рис.1 суффиксное дерево для сжатой строки'''* рекурсия Рекурсия не продолжается, если строка имеет длину <tex>1</tex>, равную единице: суффиксное дерево строится тривиально.

|definition= Четное Чётное дерево <tex>T^{even}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены четными чётными позициями <tex>0,2,4,6, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}} [[Файл:Tree101232even-pre.png|thumb|300px|Раскрываем все пары в суффиксы]][[Файл:Tree101232even.png|thumb|300px|Корректируем все развилки дерева]]

Номер каждой пары превращается в номер четного чётного суффикса исходной строки. Раскрываем все пары в суффиксы, а из-за чего номера в листьях от этого умножатся на <tex>2</tex> очевидным образом. Корректируем все развилки дерева (так как они могут совпадать в первых символах):для всех внутренних вершин <tex>u</tex>, ребра всех детей которых начинаются с одинаковых символов, мы создадим новую вершину между <tex>u</tex> и ее детьми. Это можно сделать быстро, так как все ребра, исходящие из любой вершины, лексикографически отсортированы по своим первым двум символам (так как мы сортировали номера пар на прошлом шаге). Для каждого ребра нам достаточно проверить, что его первый символ соответствует первому символу соседнего ребра, и, если так, сделать необходимые исправления. Может случиться, что ребра ко всем детям <tex>u</tex> начинаются с одинакового символа, и в этом случае у вершины <tex>u</tex> будет только один ребенок. Тогда удалим <tex>u</tex>.Эта процедура требует константное время на каждое ребро и константное время на каждую вершину, а значит, на нее требуется линейное время. Итак, если <tex>T(n)</tex> {{---}} это время, которое потребуется нашему алгоритму, чтобы построить суффиксное дерево для строки <tex>S</tex>, то <tex>T_{even}</tex> может быть построено за время <tex>T(n/2) + O(n)</tex>         

=== Шаг 3: построение нечетного нечётного по четному чётному ===

которого ограничены нечетными нечётными позициями <tex>1,3,5, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}} [[Файл:Odd.png|thumb|450px|Нечётное дерево]]

* Заметим, что все нечетные нечётные суффиксы представляют собой один символ, за которым дальше следует четный чётный суффикс. А чётные суффиксы у нас уже были отсортированы в суффиксном массиве. Тогда отсортируем их по первому символу за линейное время.

[[Файл:OddТаким образом, <tex>T_{odd}</tex> может быть построено за линейное время по <tex>T_{even}</tex>.png|thmb|450px|нечетное дерево]]'''нечетное дерево'''

=== Шаг 4[[Файл: слияние четного и нечетного дерева ===Tree101232merged-pre.png|thumb|450px|Слитое дерево (условно)]][[Файл:Tree101232merged-next.png|thumb|450px|Слитое дерево (в упрощённом виде)]]

Далее необходимо найти эффективный способ слияния нечетного нечётного и четного чётного деревьев в одно дерево <tex>T_s</tex>. Слияние будем производить, начиная с корней деревьев. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они '''упорядочены''' в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Пусть каждое ребро будет дополнительно "помечено" своим первым символом. Возьмем по одному ребру из этих списков с одинаковыми метками (в одном списке не может быть ребер с одинаковыми метками, так как это сжатые суффиксные деревья), обработаем их и рекурсивно спустимся в их поддеревья. Если для ребра из одного списка не оказалось ребра с такой же меткой из другого, то в поддеревья, очевидно, не спускаемся, так как там нечего сливать.

* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, равны, в дерево слияния к текущему узлу добавляются два сына: один {{---}} из четного чётного дерева, другой {{---}} из нечетногонечётного;

Если начать эту процедуру для корней нечётного и чётного деревьев, она рекурсивно выполнится для корней всех поддеревьев, которые, возможно, уже содержат узлы из нечетного нечётного и четного чётного деревьев, поскольку ранее мог быть реализован случай <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>. Так как время манипулирования любым ребром этих деревьев фиксировано, то общее время слияния деревьев составит <tex>O(N)</tex>. [[Файл:Tree101232merged-pre.png|450px|Слитое дерево (условно)]]'''Слитое дерево (условно)'''  [[Файл:Tree101232merged-next.png|450px|Слитое дерево (в упрощённом виде)]]'''некоторые ребра прошли процедуру слияния'''

Разбираемся с двойными дугами (в примере их три). Для этого мы должны выяснить, сколько начальных символов у них совпадает. Совпадать может любое число символов, даже все. Проверять их все по очереди нельзя (это даст квадратичное время)[[Файл:Tree101232merged. png|thumb|500px|Откорректированное дерево строки <tex>121112212221</tex>]]Если дуги совпадают полностью, тогда ничего не делаем, удаляем одну из копий и всё. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно делать для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки)[[Файл:Treestep5_1. jpg|thumb|550px|Пример]]

[[Файл:Tree101232mergedРазбираемся с двойными дугами (в примере их три). Для этого мы должны выяснить, сколько начальных символов у них совпадает. Совпадать может любое число символов, даже все. Проверять их все по очереди нельзя, так как это даст квадратичное время.png|500px]]'''откорректированное дерево'''Если дуги совпадают полностью, тогда просто удаляем одну из копий. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно сделать для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (для этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки).

Для примера как это сделать возьмём строку того чтобы узнать общее начало двойной дуги, нужно взять одну чётную и одну нечётную вершину на дереве, для которых родителем является конец нашей двойной дуги. Например, на рисунке выше двойная дуга <tex>10010010101000(1)</tex>:(конец помечен зелёным) является общим родителем для вершин <tex>3</tex> и <tex>6</tex>. Чтобы узнать, на каком расстоянии будет расслаиваться двойная дуга, надо увеличить номера вершин на единицу и найти их родителя. Он будет находиться на единицу ближе к корню (и путь у вершин будет одинаковой строкой, не считая размера). Родитель вершин <tex>4</tex> и <tex>7</tex> помечен жёлтым, он находится на расстоянии <tex>1</tex> от корня, следовательно, дуга <tex>(1)</tex> должна расслаиваться в двух символах от корня, то есть обе дуги совпадают и их просто надо слить.

[[ФайлРазберём дуги по порядку:Treestep5_1.jpg|550px]]'''пример'''

Для того чтобы узнать общее начало двойной дуги, нужно взять одну чётную и одну нечётную вершину # Расслоение находится на дереверасстоянии <tex>2</tex> от корня, для которых то есть дуга не расслаивается.# Конец является родителем является конец нашей двойной вершин <tex>2</tex>, <tex>7</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>8</tex> после слияния дуги<tex>(1)</tex>, находится на глубине <tex>2</tex> символа. НапримерЗначит, дуга <tex>(2)</tex> расслаивается на рисунке выше двойная дуга глубине <tex>3</tex> символа, то есть также не расслаивается. Дугу <tex>(2)</tex> нужно вычислять после обработки дуги <tex>(1)</tex>, потому что конец дуги <tex> (конец помечен зелёным1) </tex> после обработки может оказаться на разной высоте, в зависимости от того на каком символе она расслоилась.# Конец является общим родителем для вершин <tex>2</tex>, <tex>9</tex>. Родитель <tex>3</tex> и , <tex>10</tex> находится на расстоянии <tex>63</tex>. Чтобы узнать, а наше расслоение на каком расстоянии будет расслаиваться двойная дуга<tex>4</tex>, то есть сливается первый символ двойной дуги. Дугу <tex>(3)</tex> надо увеличить номера вершин на единицу и найти их родителявычислять после дуги <tex>(2)</tex>. Он будет находиться Потому что если на единицу ближе к корню дуге <tex>(2)</tex> появится разветвление, то компоненты дуги <tex>(3)</tex> придётся растащить по разным веткам дерева и путь у вершин сравнивать их будет одинаковой строкой, не считая размера)нужно. Родитель вершин # Конец является родителем <tex>1</tex>, <tex>4</tex> и . Расслаивается на втором символе.# Конец является родителем <tex>70</tex> помечен жёлтым, он находится на расстоянии <tex>13</tex>. Дугу <tex>(5)</tex> от корня, следовательно, дуга можно обрабатывать только после дуги <tex>(14)</tex> должна расслаиваться в двух символах , так как от корня, то есть обе дуги совпадают и их просто надо слитьнеё будет зависеть глубина расслоения.

Разберём дуги по порядку[[Файл:Treestep5_2.jpg|thumb|center|650px|Итоговое дерево строки <tex>10010010101000</tex>]]

# расслоение находится на расстоянии <tex>2</tex> от корняДерево строится рекурсивно, то есть дуга не расслаивается.# конец является родителем вершин <tex>2</tex>каждый раз длина строки уменьшается вдвое, <tex>7</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>8</tex> после слияния дуги <tex>(1)</tex>, находится на глубине <tex>2</tex> символа. Значит, дуга <tex>(2)</tex> расслаивается на глубине <tex>3</tex> символа, то есть так же не расслаивается. Дугу <tex>(2)</tex> нужно вычислять после обработки дуги <tex>(1)</tex>, потому что конец дуги <tex>(1)</tex> после обработки может оказаться на разной высоте, в зависимости от того на каком символе она расслоиласьа все фазы работают линейно.# конец является родителем <tex>2</tex>, <tex>9</tex>. Родитель <tex>3</tex>, <tex>10</tex> находится на расстоянии <tex>3</tex>, а наше расслоение на расстоянии <tex>4</tex>, то есть сливается первый символ двойной дуги. Дугу В итоге получается <tex>T(3n)</tex> надо вычислять после дуги <tex>= T(2)<n /tex>. Потому что если на дуге <tex>(2)</tex> появится разветвление, то компоненты дуги <tex>+ \Theta (3n)</tex> придётся растащить по разным веткам дерева и сравнивать их будет не нужно.# конец является родителем <tex>1</tex>, <tex>4</tex>. Расслаивается на втором символе.# конец является родителем <tex>0</tex>, <tex>3</tex>. Дугу <tex>(5)</tex> можно обрабатывать только после дуги <tex>= \Theta (4n)</tex>, так как от неё будет зависеть глубина расслоения.

[[Файл:Treestep5_2===Достоинства===*Алгоритм Фараха является первым, имеющим асимптотически оптимальное время построения <tex>O(N)</tex> для строк длины <tex>N</tex> над полиномиальным алфавитом, то есть алфавитом мощности порядка <tex>O(N)</tex>.jpg|650px]]'''итоговое дерево'''

Дерево строится рекурсивно, каждый раз длина строки уменьшается в два раза, а все фазы работают линейно.В итоге получается <tex> T(n) = T(n / 2) + \Theta (n) = \Theta (n) </tex>.=Недостатки===

Расход памяти *Данный алгоритм является больше теоретическим, нежели практическим. Как можно было заметить, основная идея алгоритма довольно проста и понятна. И хоть он и является асимптотически оптимальным, на построение дерева практике его используют довольно редко. Это связано с тем, что алгоритм весьма сложен для реализации по сравнению с другими алгоритмами построения суффиксных деревьев, а также линеен(ттребует достаточно большой объем памяти.к на каждой фазе мы лишь строим и сливаем сжатые суффиксные деверья)*Является offline-алгоритмом, то есть требует для начала работы всю строку целиком.

*[http://www.proteus2001.narod.ru/gen/txt/11/farach.html Суффиксное дерево {{---}} Алгоритм фарачаФараха]