1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
|definition=
Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадратпростого числа, отличный от 1.* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадратпростого числа, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.
}}
==== Свойства ====
*1. Функция Мёбиуса [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативна]]для взаимно простых <tex>m</tex> и <tex>n</tex>.** '''Доказательство:''' <tex> \mu (mn) = \mu(m) \mu (n) </tex>. Если '''m''' или '''n''' <tex> \vdots p^2 </tex>, то <tex> 0 = 0</tex>. Иначе пусть <tex> n=\prod p_i, m=\prod p_j </tex>, и <tex> k_n, k_m </tex> {{---}} количество чисел в произведении, соответственно. <tex> \mu (mn)= (-1)^{k_n + k_m} = (-1)^{k_n}(-1)^{k_m} </tex> ч.т.д.
*2. Пусть <tex> \theta (a) </tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативная]] функция, и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> {{---}} каноническое разложение числа '''a''', тогда <center> <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>. </center>
** '''Доказательство:''' <tex> \mu(a) , \theta(a)</tex> {{---}} [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативны]], значит <tex> \theta_1 (a) = \mu(a)\theta(a) </tex> тоже мультипликативна. Пусть '''p''' {{---}} простое, значит <tex> \mu(p) = -1 </tex>, поэтому <tex> \theta_1(p) = -\theta(p)</tex>. Также <tex> \mu(p^s) =0(s \ge 2)</tex>, значит <tex> \theta_1(p^s) = 0 </tex>. Теперь применим свойство о сумме, распространенной на все делители некоторого числа, [[Мультипликативность функции, свертка Дирихле|мультипликативной]] функции, откуда получим <tex> \sum_{d|a} \mu(d) \theta(d) = (1 - \theta(p_1))(1 - \theta(p_2))\ldots(1 - \theta(p_k))</tex>.
*3. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{ \begin{casesarray}{ll} 1,&\mbox{if } n=1,\\ 0,&\mbox{if } n>1. \end{casesarray}\right.</tex>.** '''Доказательство:''' Воспользуемся свойством 2, где <tex> \theta(a) = 1</tex>.
