Изменения

===Примеры=== Проще говоря, дискретные случайные величины {{---}} это величины, принимающие значения, которые количество значений которых можно пересчитать. В качестве примеров можно привести число количество выученных билетов (среди конечного числа билетов)Например:# Число попаданий в мишень при <tex>n</tex> выстрелах. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex> # Количество выпавших орлов при <tex>n</tex> бросков монетки. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex> # Число очков, число звонков, поступавших на телефонную станцию в течение месяца (выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{1, 2, 3, 4,5,6\ldots}</tex>).

== Функция распределения ==

'''Функция распределения случайной величины''' (англ. ''cumulative distribution function (CDF)'') {{---}} функция <tex>F(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi < \leqslant x)</tex>, т.е. выражающая вероятность того, что <tex>\xi</tex> примет значение, меньшее чем или равное <tex>x</tex> }} Если случайная величина <tex>\xi</tex> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией <tex>\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</tex> Функция распределения <math>F(x)</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как <tex>F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i</tex>.

Свойства функции распределениядискретной случайной величины:

*<tex>F(x)</tex> непрерывна слева во всех точках <tex>\forall x \in \mathbb{R};</tex>, таких что <tex>\forall i ~ x \ne x_i </tex>, и имеет разрыв первого рода в точках, таких что <tex>\forall i ~ x = x_i</tex>.

===Примеры===#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>k < 0 ~ F(k) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k \geqslant 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \rceil - 1) }\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}</tex>#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>. #Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k < 1 ~ F(k) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \rceil - 1) }p_{i}</tex> В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например <tex>F(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\\dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\1, & x > 3 \end{cases}</tex> ==Функция плотности вероятностираспределения вероятностей==

'''Функция плотности вероятностираспределения вероятностей''' (англ. ''Probability density function'') {{---}} функция <tex>f(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как первая производная функции распределения.  :<tex>f(x) = F'(x)</tex> }} Свойства функции плотности вероятности: *Интеграл от плотности по всему пространству равен единице: :<math>\int\limits_{\mathbb{R}^n}f(x)\, dx = 1</math>. *Плотность вероятности определена почти всюду.:Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль. Для примера выше <tex>f(x)=F'(x) = \begin{cases}(0)', & x < 0 \\\left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\(1)', & x > 3 \end{cases} = \begin{cases}0, & x < 0 \\\dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\0, & x > 3 \end{cases}</tex>

<tex>f(x) = FДля дискретной случайной величины '(x)</tex>''не''' существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

* [http://kek.ksu.ru/EOS/TerVer/par7.html КГУ {{---}} Определение дискретной случайной величины]