Изменения

<div styletex dpi ="background-color200">Q \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>{{Задача|definition=Рассмотрим задачу на нахождение расписания: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: У нас есть несколько станков, работающих параллельно. У станков могут быть разные скорости выполнения работ.#000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;"Есть несколько заданий, каждое имеет своё время появления <tex>r_i</tex> и время окончания <tex>Эта статья находится в разработке!d_i</divtex>.# Работа может быть прервана в любой момент и продолжена позже на любой машине.Требуется минимизировать максимальное опоздание <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]L_{max} = \max\limits_i \{C_i - d_i\}</includeonlytex>. }}

==Постановка задачиАлгоритм==Рассмотрим задачу нахождения расписания со следующим свойством===Алгоритм решения===<table><tr><td>[[Файл:Figure_5.2.png|500px|thumb|Рис. 1. Исходная сеть]]</td><td>[[Файл:Figure_5.9.b.png|500px|thumb|Рис. 2. Расширение сети]]</td></tr></table>

Применим бинарный поиск для общего Как в [[PpmtnriLmax|задаче]] <tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex> применим метод [[Вещественный_двоичный_поиск|двоичного поиска]] и сведем задачу к <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex>. Для существования расписания с <tex> L_{max} \leqslant L^* </tex> требуется, чтобы у работы с номером <tex> i </tex> выполнялось <tex> C_i - d_i \leqslant L^* </tex>, что эквивалентно <tex> C_i \leqslant d_i + L^* </tex>. Опишем алгоритм решения задачи. Сведем задачу <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex> при помощи сведения к поиску задаче поиска [[Определение_сети,_потока|максимального потока сети]].

Пусть <tex> t_1 < \leqslant t_2 <\leqslant ...< \leqslant t_r </tex> {{---}} упорядоченная последовательности последовательность всех значений <tex>r_i</tex> и <tex>d_i+ L^*</tex>.Определим интервалы на исходной сети (Рис. 1) <tex> I_K := [t_{K-1}, t_K], \ T_K = t_K-t_{K−1} </tex> для <tex> K = 2,..., r </tex>. Cчитаем, что станки занумерованы в порядке невозрастания скоростей <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant . . . \geqslant s_m </tex> (также считаем <tex>s_{m+1} = 0</tex>).

Также определим Искомая сеть строится с помощью расширения сети из задачи <tex> I_K := [t_P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>. Обозначим через <tex> J_{i_1}, J_{K-1i_2}, t_K]. . . ,\ T_K = t_K-t_J_{K-−1i_s} </tex> для набор предшественников узла <tex>I_K</tex> K = 2, тогда замененная нами подсеть определяется как <tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2},..., r J_{i_s} </tex>.

Далее мы расширяем сеть, показанную Расширение сети показано на рисунке 5.2 {{TODO | t = ДОБАВИТЬ_Рисунки {5Рис.2} 5.9: Расширение сети.}} следующим образом:

Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам <tex>I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} </tex> - произвольный интервал узел на рисункевершин <tex>(K, 1), (K, 2), . . . (K, m) </tex>. При <tex>j = 1,..., m </tex>, есть дуги от <tex>(K, обозначим через j)</tex> до <tex>I_K</tex> с пропускной способностью <tex> J_j(s_j - s_{i_1j+1}) T_K </tex> и для всех <tex>\nu = 1,. . . , J_{i_2}s</tex> и <tex>j = 1, . . . , m</tex> существует дуга из <tex>J_{i_si_\nu}</tex> в <tex>(K, J)</tex> с пропускной способностью <tex> (s_j - s_{j+1} ) T_K </tex> набор предшественников узла . Это выполняется для каждой вершины <tex>I_K</tex>. Кроме того, мы сохраняем дуги из <tex>s</tex> в <tex>J_i</tex> пропускной способностью <tex>p_i</tex> и дуги из <tex>I_K</tex> в <tex>t</tex> пропускной способностью <tex>S_mT_K</tex> (Рис. 1).

Тогда замененная нами подсеть определяется как ===Корректность и оптимальность алгоритма==={{Теорема|statement=Следующие утверждения эквивалентны::<tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} (a)</tex>, которая показана на рисунке 5Существует допустимое расписание.9 :<tex>(аb), расширение </tex> В расширенной сети показано на рисунке 5.9 (б)существует поток от <tex>s</tex> до <tex>t</tex> со значением <tex>\sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.

Cчитаем, что машины индексируются в порядке невозрастания скоростей |proof=<tex> s_1 \ge s_2 \ge . . . (b) \ge s_m </tex>, кроме того <tex>s_{m+1} = 0Rightarrow (a)</tex>.

Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам :Рассмотрим в расширенной сети поток величиной <tex> I_K, J_\sum\limits_{i_1i = 1}, J_^n {i_2p_i}, </tex>. . . , J_Обозначим через <tex>x_{i_siK} </tex> вершин общий поток, который идет от <tex>J_i</tex> до <tex>(KI_K</tex>. Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1), (}^n \sum\limits_{K= 2}^r x_{iK} = \sum\limits_{i = 1}^n p_i</tex>. Достаточно показать, 2)что для каждого подмножества <tex>A \subseteq \{ 1, . . . (K, m) n \}</tex>. выполняется

При j = 1,..., m, есть дуги от (K, j) до I_K with capacity :<tex> j(s_j - s_\sum\limits_{i \in A} x_{j+1iK}\leqslant T_Kh(A) \dot T_K </tex> и для всех ν = 1,. . . , s и j где <tex>h(A) = 1\begin{cases} S_{|A|},. . ., m существует дуга из J_& \text{i_νif } в (K|A| \leqslant m \\ S_m, J) with capacity <tex> (s_j - s_& \text{j+1otherwise}) \dot T_K end{cases} </tex>.

Для каждого :Это означает, что условие <tex>I_K</tex> у нас есть такие расширения\sum\limits_{i \in A} p_i \leqslant Th(A), \forall A \subseteq \{ 1, ... Кроме того, мы сохраняем дуги от <tex>sn \}</tex> до выполняется и требования к обработке <tex>J_ix_{1K}, . . . , x_{nK}</tex> и мощностью могут быть запланированы как <tex>p_iI_K</tex> дуг из для <tex>I_KK = 2, . . . , r</tex> . Рассмотрим подсеть в расширенной сети в подмножестве <tex>tA</tex> мощностью и соответствующие части потока. Фрагмент частичного потока, который проходит через <tex>S_mT_K(K, j)</tex> (см. рисунок 5.2). Сеть построена таким образом, называется расширенной сетью.ограничен

//===================================================================================================================Следующая теорема показывает, что мы можем проверить возможность по решениюзадача о максимальном потоке в расширенной сети.Теоремы 5.9 эквивалентны следующие свойства:<tex>\min \{ j(Аs_j −- s_{j + 1}) Там существует допустимое расписание.T_K, |A|(Бs_j - s_{j+1}) В расширенной сети существует поток с с к т со значением <tex>sum_iT_K \} =T_K(s_j - s_{j+1^n}) \min \{p_ij, |A| \}</tex>.

Из:Таким образом, мы имеем <table align = center><tr><td><tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \geqslant T_K \sum\limits_{j = 1}^m(s_j −-за максимального потока в расширенной сети могут быть рассчитаны вs_{j+1}) \min \{ j, |A| \} = T_Kh(A)</tex>. <tex>(*)</tex></td></tr></table> O :То, что равенство <tex>(mn3*) шагов</tex> справедливо, возможность проверки может быть сделано с такой же сложностирассматриваться как следствие.Если <tex>|A| > m</tex>, то Для решения задачи Q :<tex>\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, | pmtn; п A| Lmax мы бинарный поиск\}(s_j - s_{j + 1}) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - 3s_4 + ... Это дает+ ms_s - ms_{m+1} =\ </tex>ε-приближении алгоритм со сложностью O :<tex>S_m = h(mn3 A)</tex>. :В противном случае :<tex>\sum\limits_{j = 1} \min \{ j, |A| \}(§ п s_j - s_{j + 1}) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - ... + журнал (|A| - 1)s_{|A| - 1 } -\ </ εtex>:<tex>(|A| - 1) s_{|A|} +log |A|(пs_{|A|} - s_{|A| - 1} - ...- s_m + s_m - s_{m + 1}) = S_{|A|} = h(A)</tex>Макс= 1р<tex>(a)\Rightarrow (b)</tex><br>:Предположим, потому что Lmaxдопустимое расписание существует. Для <tex>i = 1, конечно... , n </tex> и <tex>K = 2, ограниченной пп..., r</tex> пусть <tex>x_{iK}</tex> является "объемом работ", который будет выполняться в интервале <tex>I_K</tex> в соответствии с нашим возможным расписанием. Тогда для всех <tex>K = 2, ..., r</tex> и произвольных наборов <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex>, неравенствоМакс:<table align = 1center><tr><td><tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_Kh(A)</tex> <tex>(**)</tex></td></tr></table> пивыполняется. Кроме того, если s1 для <tex>i = 1, .Потому . . , n</tex> у нас <tex>p_i = \sum\limits_{K = 2}^r s_{iK}</tex>. Остается показать, что можно отправить <tex>x_{iK}</tex> от <tex>J_i</tex> до <tex>I_K</tex> <tex>(5i = 1, .10. . , n; K = 2, . . . , r) справедливо для всех К частичной работы с требования к обработкеXik могут быть запланированы </tex> в ИК с уровнем алгоритмарасширенной сети. Проблема Q | pmtn; п | CmaxТакой поток существует, которая представляет собой частный случай Q | pmtn; п | Lmaxесли <tex>\forall A \subseteq \{ 1,могут быть решены более эффективно. Labetoulle. . , n \}</tex> и <tex>K = 2, Lawler. . . , Ленстра r</tex> значение <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK}</tex> ограничено величиной минимального разреза части сети с истоками <tex>J_i(i \in A)</tex> и Rinnooyстоком <tex>I_K</tex>. Тем не менее, это значение Кан [133] разработали О <tex>T_K\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(п § п s_j - s_{j+ тп1})</tex> Используя <tex>(**)</tex> и правую часть <tex>(*)-алгоритм для этого специальные</tex>, получаем случае. Кроме того<tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_K h(A) = T_K \sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, проблема Q | pmtn A| Lmax может быть решена в О \}(п § п s_j - s_{j+ тп1})</tex> что и является искомым неравенством.}} ===Время работы=== Работа с максимальным потоком в расширенной сети занимает <tex>O (m n^3)</tex> шагов, проверка может быть сделана с такой же скоростью. Это вытекает из следующих соображений.Проблема Для решения <tex>Q | \mid pmtn; п | Cmax эквивалентно нахождению наименьшего T ≥ 0r_{i} \mid L_{max}</tex> мы используем бинарный поиск,а значит, что проблема получаем алгоритм с временными окнами [г<tex>\varepsilon</tex>-приближенной сложностью <tex>O (mn^3(\log(n) + \log(1 / \varepsilon) + \log(\max\limits_{i=1}^{n} p_i)) </tex>, потому как <tex>L_{max}</tex>, т] (г ограничен <tex>n \max\limits_{i= 1}^{n}p_i</tex>, при <tex>s_1 = 1</tex>. Задача <tex>Q \mid pmtn; r_i \mid C_{max}</tex> представляет собой частный случай <tex>Q \mid pmtn; r_i \mid L_{max}</tex>, и может быть решена более эффективно<ref>Описано в Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 133 стр.</ref>., п) имеет возможностирешение==Примечания==<references/> ==Источники информации==* Peter Brucker. С другой стороны«Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», проблема Q | pmtn | Lmax эквивалентна2006 г. {{---}} 129 {{---}} 133 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8нахождения наименьшего T ≥ 0 такое, что проблема с временными окнами[0, D + T[Категория: Теория расписаний] или с временными окнами [-T, ди] имеет допустимое решение. Таким образом,проблемы Q | pmtn; п | Cmax и Q | pmtn | Lmax симметричны