Изменения

<div styletex dpi ="background-color200">Q \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>{{Задача|definition=Рассмотрим задачу на нахождение расписания: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: У нас есть несколько станков, работающих параллельно. У станков могут быть разные скорости выполнения работ.#000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border-width: 1px;"Есть несколько заданий, каждое имеет своё время появления <tex>r_i</tex> и время окончания <tex>Эта статья находится в разработке!d_i</divtex>.# Работа может быть прервана в любой момент и продолжена позже на любой машине.Требуется минимизировать максимальное опоздание <includeonlytex>[[Категория: В разработке]]L_{max} = \max\limits_i \{C_i - d_i\}</includeonlytex>. }}

==Постановка задачиАлгоритм==Рассмотрим задачу нахождения расписания со следующим свойством===Алгоритм решения===<table><tr><td>[[Файл:Figure_5.2.png|500px|thumb|Рис. 1. Исходная сеть]]</td><td>[[Файл:Figure_5.9.b.png|500px|thumb|Рис. 2. Расширение сети]]</td></tr></table>

Применим бинарный поиск для общего Как в [[PpmtnriLmax|задаче]] <tex>P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex> применим метод [[Вещественный_двоичный_поиск|двоичного поиска]] и сведем задачу к <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex>. Для существования расписания с <tex> L_{max} \leqslant L^* </tex> требуется, чтобы у работы с номером <tex> i </tex> выполнялось <tex> C_i - d_i \leqslant L^* </tex>, что эквивалентно <tex> C_i \leqslant d_i + L^* </tex>. Опишем алгоритм решения задачи. Сведем задачу <tex> Q \mid pmtn, r_i, d_i \mid - </tex> при помощи сведения к поиску задаче поиска [[Определение_сети,_потока|максимального потока сети]].

Пусть <tex> t_1 < \leqslant t_2 <\leqslant ...< \leqslant t_r </tex> {{---}} упорядоченная последовательности последовательность всех значений <tex>r_i</tex> и <tex>d_i+ L^*</tex>.Определим интервалы на исходной сети (Рис. 1) <tex> I_K := [t_{K-1}, t_K], \ T_K = t_K-t_{K−1} </tex> для <tex> K = 2,..., r </tex>. Cчитаем, что станки занумерованы в порядке невозрастания скоростей <tex> s_1 \geqslant s_2 \geqslant . . . \geqslant s_m </tex> (также считаем <tex>s_{m+1} = 0</tex>).

Также определим Искомая сеть строится с помощью расширения сети из задачи <tex> I_K := [t_P \mid pmtn, r_i \mid L_{max}</tex>. Обозначим через <tex> J_{i_1}, J_{K-1i_2}, t_K]. . . ,\ T_K = t_K-t_J_{K-−1i_s} </tex> для набор предшественников узла <tex>I_K</tex> K = 2, тогда замененная нами подсеть определяется как <tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2},..., r J_{i_s} </tex>.

Далее мы расширяем сеть, показанную Расширение сети показано на рисунке 5.2 {{TODO | t = ДОБАВИТЬ_Рисунки {5Рис.2} 5.9: Расширение сети.}} следующим образом:

Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам <tex>I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} </tex> - произвольный интервал узел на рисункевершин <tex>(K, 1), (K, 2), . . . (K, m) </tex>. При <tex>j = 1,..., m </tex>, есть дуги от <tex>(K, обозначим через j)</tex> до <tex>I_K</tex> с пропускной способностью <tex> J_j(s_j - s_{i_1j+1}) T_K </tex> и для всех <tex>\nu = 1,. . . , J_{i_2}s</tex> и <tex>j = 1, . . . , m</tex> существует дуга из <tex>J_{i_si_\nu}</tex> в <tex>(K, J)</tex> с пропускной способностью <tex> (s_j - s_{j+1} ) T_K </tex> набор предшественников узла . Это выполняется для каждой вершины <tex>I_K</tex>. Кроме того, мы сохраняем дуги из <tex>s</tex> в <tex>J_i</tex> пропускной способностью <tex>p_i</tex> и дуги из <tex>I_K</tex> в <tex>t</tex> пропускной способностью <tex>S_mT_K</tex> (Рис. 1).

Тогда замененная нами подсеть определяется как ===Корректность и оптимальность алгоритма==={{Теорема|statement=Следующие утверждения эквивалентны::<tex> I_K, J_{i_1}, J_{i_2}, . . . , J_{i_s} (a)</tex>, которая показана на рисунке 5Существует допустимое расписание.9 :<tex>(аb), расширение </tex> В расширенной сети показано на рисунке 5.9 (б)существует поток от <tex>s</tex> до <tex>t</tex> со значением <tex>\sum\limits_{i=1}^n p_i</tex>.

Cчитаем, что машины индексируются в порядке невозрастания скоростей |proof=<tex> s_1 \ge s_2 \ge . . . (b) \ge s_m </tex>, кроме того <tex>s_{m+1} = 0Rightarrow (a)</tex>.

Расширенная подсеть строится путем добавления к вершинам :Рассмотрим в расширенной сети поток величиной <tex> I_K, J_\sum\limits_{i_1i = 1}, J_^n {i_2p_i}, </tex>. . . , J_Обозначим через <tex>x_{i_siK} </tex> вершин общий поток, который идет от <tex>J_i</tex> до <tex>(KI_K</tex>. Заметим, что <tex>\sum\limits_{i = 1), (}^n \sum\limits_{K= 2}^r x_{iK} = \sum\limits_{i = 1}^n p_i</tex>. Достаточно показать, 2)что для каждого подмножества <tex>A \subseteq \{ 1, . . . (K, m) n \}</tex>. выполняется

При :<tex>j = 1,..., m \sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_Kh(A)</tex>, есть дуги от где <tex>h(K, jA)</tex> до <tex>I_K</tex> with capacity <tex> j(s_j - s_= \begin{cases} S_{j+1|A|}) T_K </tex> и для всех <tex>ν = 1,. . . , s</tex> и <tex>j = 1& \text{if }|A| \leqslant m \\ S_m,. . ., m</tex> существует дуга из <tex>J_& \text{i_νotherwise}</tex> в <tex>(K, J)</tex> with capacity <tex> (s_j - s_\end{j+1cases}) T_K </tex>.

Для каждого :Это означает, что условие <tex>I_K</tex> у нас есть такие расширения\sum\limits_{i \in A} p_i \leqslant Th(A), \forall A \subseteq \{ 1, ... Кроме того, мы сохраняем дуги от <tex>sn \}</tex> до выполняется и требования к обработке <tex>J_ix_{1K}, . . . , x_{nK}</tex> и мощностью могут быть запланированы как <tex>p_iI_K</tex> дуг из для <tex>I_KK = 2, . . . , r</tex> . Рассмотрим подсеть в расширенной сети в подмножестве <tex>tA</tex> мощностью и соответствующие части потока. Фрагмент частичного потока, который проходит через <tex>S_mT_K(K, j)</tex> (см. рисунок 5.2). Сеть построена таким образом, называется расширенной сетью.ограничен

:<tex>\min \{j(s_j −- s_{TODOj + 1})T_K, |A| t (s_j - s_{j+1})T_K \} = Теоремы 5.9T_K(s_j - s_{j+1}) \min \{ j, |A| \} Следующие свойства эквивалентны:</tex>.

(Б) В расширенной сети существует поток от s до t со значением <table align = center><tr><td><tex>\sum\limits_{i\in A} x_{iK} \geqslant T_K \sum\limits_{j =1}^m(s_j −- s_{j+1}) \min \{nj, |A| \} p_i= T_Kh(A)</tex>. <tex>(*)</tex></td></tr></table>

Из-за максимального потока в расширенной сети могут быть рассчитаны в :То, что равенство <tex>O (m n^3*)</tex> шаговсправедливо, возможность проверки может быть сделано с такой же сложностирассматриваться как следствие.Если <tex>|A| > m</tex>, то

Для решения задачи :<tex>Q|pmtn; r_{i}|L_{max}</tex> мы используем бинарный поиск. Это дает <tex>\varepsilon</tex>-приближении алгоритм со сложностью <tex>O (mn^3(log(n) + log(1 / \varepsilon) + log (\maxsum\limits_{ij =1}^m \min \{n} p_i)) </tex>j, потому что <tex>L_{max|A| \}</tex>, конечно, ограниченной <tex>n \max\limits_(s_j - s_{i=j + 1}^) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - 3s_4 + ... + ms_s - ms_{nm+1}p_i=\ </tex>, если :<tex>s_1 S_m = 1h(A)</tex>.

Потому что :<tex>\sum\limits_{j = 1} \min \{ j, |A| \}(5s_j - s_{j + 1}) = s_1 - s_2 + 2s_2 - 2s_3 + 3s_3 - .10.. + (|A| - 1)s_{|A| - 1} -\ </tex>:<tex>(|A| - 1) справедливо для всех К частичной работы с требования к обработке Xik могут быть запланированы в ИК с уровнем алгоритмаs_{|A|} + |A|(s_{|A|} - s_{|A| - 1} - ... Проблема Q - s_m + s_m - s_{m + 1}) = S_{| pmtn; п A| Cmax} = h(A)</tex> <tex>(a) \Rightarrow (b)</tex><br>:Предположим, что допустимое расписание существует. Для <tex>i = 1, которая представляет собой частный случай Q | pmtn; п | Lmax... , n </tex> и <tex>K = 2, ..., r</tex> пусть <tex>x_{iK}</tex> является "объемом работ", могут быть решены более эффективнокоторый будет выполняться в интервале <tex>I_K</tex> в соответствии с нашим возможным расписанием. LabetoulleТогда для всех <tex>K = 2, Lawler..., Ленстра r</tex> и Rinnooy Кан [133] разработали О произвольных наборов <tex>A \subseteq \{ 1, . . . , n \}</tex>, неравенство :<table align = center><tr><td><tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_Kh(A)</tex> <tex>(п § п + тп**)-алгоритм для этого специальные случае</tex></td></tr></table> выполняется. Кроме того, проблема Q | pmtn | Lmax может быть решена в О для <tex>i = 1, . . . , n</tex> у нас <tex>p_i = \sum\limits_{K = 2}^r s_{iK}</tex>. Остается показать, что можно отправить <tex>x_{iK}</tex> от <tex>J_i</tex> до <tex>I_K</tex> <tex>(п § п + тп) шаговi = 1, . . Это вытекает из следующих соображений. Проблема Q | pmtn, n; п | Cmax эквивалентно нахождению наименьшего T ≥ 0K = 2, . . . , r)</tex> в расширенной сети. Такой поток существует, если <tex>\forall A \subseteq \{ 1, что проблема с временными окнами [г. . . , т] (г n \}</tex> и <tex>K = 12, ..., пr</tex> значение <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK}</tex> ограничено величиной минимального разреза части сети с истоками <tex>J_i(i \in A) имеет возможности решение</tex> и стоком <tex>I_K</tex>. С другой стороныТем не менее, это значение <tex>T_K\sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, проблема Q | pmtn A| Lmax эквивалентна нахождения наименьшего T ≥ 0 такое\}(s_j - s_{j+1})</tex> Используя <tex>(**)</tex> и правую часть <tex>(*)</tex>, получаем <tex>\sum\limits_{i \in A} x_{iK} \leqslant T_K h(A) = T_K \sum\limits_{j = 1}^m \min \{ j, |A| \}(s_j - s_{j+1})</tex> что проблема и является искомым неравенством.}} ===Время работы=== Работа с максимальным потоком в расширенной сети занимает <tex>O (m n^3)</tex> шагов, проверка может быть сделана с временными окнами [0такой же скоростью. Для решения <tex>Q \mid pmtn; r_{i} \mid L_{max}</tex> мы используем бинарный поиск, а значит, D + T] или получаем алгоритм с временными окнами [<tex>\varepsilon</tex>-Tприближенной сложностью <tex>O (mn^3(\log(n) + \log(1 / \varepsilon) + \log(\max\limits_{i=1}^{n} p_i)) </tex>, потому как <tex>L_{max}</tex>, ограничен <tex>n \max\limits_{i=1}^{n}p_i</tex>, ди] имеет допустимое решениепри <tex>s_1 = 1</tex>. Таким образом, проблемы  Задача <tex>Q | \mid pmtn; ri | Cmaxr_i \mid C_{max}</tex> и представляет собой частный случай <tex>Q | \mid pmtn | Lmax; r_i \mid L_{max}</tex> симметричны, и может быть решена более эффективно<ref>Описано в Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 133 стр.</ref>. ==Примечания==<references/> ==Источники информации==* Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 129 {{---}} 133 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8 [[Категория: Теория расписаний]]