Факторизация графов

Определение:

Фактором (англ. factor) графа [math]G[/math] называется остовный подграф графа [math]G[/math], имеющий хотя бы одно ребро.

Определение:

Граф [math]G[/math] — сумма факторов [math]G_i[/math], если графы [math]G_i[/math] не имеют попарно общих рёбер, а [math]G[/math] является их объединением. Такое разложение называется факторизацией (англ. factorization) графа [math]G[/math].

Определение:

[math]k[/math]-фактор — регулярный остовный подграф степени [math]k[/math]. Если граф [math]G[/math] представляет собой сумму [math]k[/math]-факторов, то их объединение называется [math]k[/math]-факторизацией, а сам граф [math]G[/math] назыается [math]k[/math]-факторизуемым.

Определение:

Пусть задана функция [math]f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}[/math], такая что [math]\forall~v \in V(G):f(v)\leq \text{deg}(v)[/math]. Тогда остовный подграф [math]G_f[/math] в котором степень каждой вершины [math]v[/math] равна [math]f(v)[/math] называется [math]f[/math]-фактором.

Примеры факторов в графе: (1) — [math]3[/math]-фактор, (2) — [math]f[/math]-фактор (значения [math]f(v)[/math] указаны возле вершин)

Задача о поиске произвольного [math]f[/math]-фактора

Сведем задачу о поиске [math]f[/math]-фактора к задаче о поиске наибольшего паросочетания.

Пусть дан граф [math]G[/math] и функция [math]f : V(G) \rightarrow \mathbb{N}[/math]. Построим граф [math]G^*[/math] следующим образом.

1. Для каждого ребра [math](u,w)\in E(G)[/math] добавим в граф [math]G^*[/math] по одной новой вершине в множества [math]S(u)[/math] и [math]S(w)[/math], и соединим их ребром [math](e(u),e(w))[/math]. В результате каждой вершине [math]v \in V(G)[/math] будет соответствовать множество [math]S(v) \subset V(G^*)[/math] такое что [math]|S(v)|=deg(v)[/math]; Каждому ребру [math](u,w) \in E(G)[/math] будет соответствовать ребро [math](e(u),e(w))[/math], причем ни для каких двух ребер из [math]E(G)[/math] концы соответствующих им ребер в [math]G^*[/math] не пересекаются.
2. Для каждой вершины [math]v\in V(G)[/math] добавим в [math]G^*[/math] новые [math]deg(v)-f(v)[/math] вершин, образующие множество [math]T(v)[/math]. Каждую вершину из [math]T(v)[/math] свяжем ребром с каждой вершиной из [math]S(v)[/math]. В результате для каждой вершины [math]v \in V(G)[/math] Множество [math]S(v)\cup T(v)[/math] образует полный двудольный граф.

Граф [math]G[/math] и соответствующий ему граф [math]G^*[/math]

Теорема:

Граф [math]G[/math] имеет [math]f[/math]-фактор тогда и только тогда, когда соответствующий графу [math]G[/math] и функции [math]f[/math] граф [math]G^*[/math] имеет совершенное паросочетание.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Пусть граф [math]G[/math] имеет [math]f[/math]-фактор [math]G_f[/math]. Построим паросочетание [math]M[/math] для графа [math]G^*[/math] следующим образом: Для каждого ребра [math](u,w)\in G_f[/math] добавим в [math]M[/math] соответствующее ему ребро из [math]G^*[/math] . Теперь для каждой вершины [math]v \in V(g)[/math] [math]f(v)[/math] вершин из множества [math]S(v)[/math] покрыты [math]M[/math] . Для каждой вершины [math]v \in V(g)[/math] пусть [math]R(v)\subset S(v)[/math] — множество вершин еще не покрытых [math]M[/math]. [math]R(v)\cup T(v)[/math] является полным двудольным графом, причем размер каждой из долей равен [math]deg(v)-f(v)[/math], следовательно этот граф имеет совершенное паросочетание [math]M_v[/math]. Добавим каждое ребро из [math]M_v[/math] в [math]M[/math]. В результате каждая вершина в [math]G^*[/math] покрыта [math]M[/math], следовательно [math]M[/math] является совершенным паросочетанием. [math]\Leftarrow[/math] Пусть [math]G^*[/math] имеет совершенное паросочетание [math]M[/math]. Для каждой вершины [math]v\in V(G)[/math] [math]T(v)[/math] является независимым множеством и полностью покрыто [math]M[/math], следовательно множество [math]R(v)\subset S(v)[/math] покрыто ребрами, концы которых лежат в [math]T(v)[/math], а значит каждая вершина из [math]S(v)\setminus R(v)[/math] покрыта ребром, второй конец которого принадлежит [math]S(w) : w \in V(G)[/math], причем [math]|S(v)\setminus R(v)| = deg(v)-(deg(v)-f(v))=f(v)[/math]. Поэтому если мы добавим в [math]G_f[/math] все ребра соответствующие ребрам из [math]M[/math] покрывающим [math]S(v)\setminus R(v) : v \in V(G)[/math], то есть все ребра из [math]M[/math] концы которых лежат в множествах [math]S[/math], то степень каждой вершины [math]v \in G_f[/math] будет равна [math]f(v)[/math], а значит [math]G_f[/math] будет являться [math]f[/math]-фактором.

[math]\triangleleft[/math]

Из доказательства напрямую следует, что для нахождения [math]f[/math]-фактора графа [math]G[/math] достаточно найти совершенное паросочетание в графе [math]G^*[/math]. Т.к. [math]G^*[/math] в общем случае не является двудольным, для решения этой задачи можно воспользваться Алгоритмом Эдмондса для поиска наибольшего паросочетания работающим за время [math]O(E \cdot V^2)[/math]. Построение графа [math]G^*[/math] можно выполнить за время [math]O(E+V)[/math]. Поэтому итоговая асимптотика — [math]O(E \cdot V^2)[/math]

1-факторизация

Теорема:

Полный граф [math]K_{2n}[/math] [math]1[/math]-факторизуем.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]1[/math]-факторизация графа [math]K_6[/math] Нам нужно только указать разбиение множества рёбер [math]E[/math] графа на [math](2n - 1)[/math] [math]1[/math]-фактора. Для этого обозначим вершины графа [math]G[/math] через [math]v_1, v_2, \dots, v_{2n}[/math] и определим множества рёбер [math]X_i = (v_iv_{2n}) \cup (v_{i - j}v_{i + j}; j = 1, 2, \dots, n - 1)[/math], [math]i = 1, 2, \dots, 2n - 1 [/math], где каждый из индексов [math]i - j[/math] и [math]i + j[/math] является одним из чисел [math]1, 2, \dots, 2n - 1[/math]; здесь сумма и разность берутся по модулю [math]2n - 1[/math]. Легко видеть, что набор [math]X_i[/math] даёт необходимое разбиение множества [math]X[/math], а сумма подграфов [math]G_i[/math], порождённых множествами [math]X_i[/math], является [math]1[/math]-факторизацией графа [math]K_{2n}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

2-факторизация

Утверждение:

Если граф [math]2[/math]-факторизуем, то каждый его фактор должен быть объединением непересекающихся (по вершинам) циклов.

[math]\triangleright[/math]

Начнём обход [math]2[/math]-фактора с какой-то вершины. Пойдём по одному из её рёбер и попадаем в смежную ей вершину. Далее идём по рёбрам, по которым мы ещё не ходили. Мы входим в вершину по одному ребру и выходим по другому, так как степень каждой вершины равна [math]2[/math], пока не вернёмся в первую вершину. Это цикл, так как в каждой вершине мы были только один раз. Если есть вершины, которые мы не посетили, то снова начинаем обход с любой из таких вершин. В вершины прежних циклов попасть нельзя, так как мы уже проходили по рёбрам этих вершин. Значит, циклы не пересекаются по вершинам.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (J. Petersen, 1981, О наличии [math]2[/math]-фактора в регулярном графе чётной степени.):

Пусть [math]G[/math] — регулярный граф чётной степени. Тогда в [math]G[/math] есть [math]2[/math]-фактор.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]G[/math] — [math]2k[/math]-регулярный граф, пусть [math]G[/math] связен. Согласно критерию эйлеровости граф [math]G[/math] имеет эйлеров цикл [math]v_0e_1 \cdots e_lv_l[/math], где [math]v_0 = v_l[/math]. Будем строить граф [math]H[/math] следующим образом: разделим каждую вершину графа [math]G[/math] [math]v[/math] на две, назовём их [math]v^-[/math] и [math]v^+[/math]. Заменим каждое ребро в эйлеровом обходе [math]v_iv_{i+1}[/math] на ребро [math]v_i^-v_{i+1}^+[/math] Пример регулярного графа чётной степени. В нём есть эйлеров цикл [math]1[/math]—[math]2[/math]—[math]3[/math]—[math]4[/math]—[math]1[/math] Соответствующий ему граф [math]H[/math] Получившийся граф является [math]k[/math]-регулярным, и по лемме о существовании совершенного паросочетания в регулярном двудольном графе в нём есть совершенное паросочетание, то есть [math]1[/math]-фактор. Объединим вершины [math]v^-[/math] и [math]v^+[/math] обратно в вершину [math]v[/math]. Так как в графе [math]H[/math] каждой вершине было инцидентно [math]1[/math] ребро, то после объединения в графе [math]G[/math] каждой вершине будет инцидентно [math]2[/math] ребра. Если [math]G[/math] несвязен, то аналогичные рассуждения можно провести для каждой его компоненты связности, и, таким образом, найти [math]2[/math]-фактор в каждой его компоненте связности. Тогда каждой вершине каждой его компоненты связности будет инцидентно [math]2[/math] ребра, значит, каждой вершине [math]G[/math] будет инцидентно [math]2[/math] ребра, значит, в [math]G[/math] существует [math]2[/math]-фактор.

[math]\triangleleft[/math]

Пример графа, имеющего [math]3[/math] различных [math]2[/math]-фактора, то есть разбиваемого на [math]3[/math] рёберно непересекающихся гамильтоновых цикла

Заметим, что если [math]2[/math]-фактор связен, то он является гамильтоновым циклом.

Теорема:

Граф [math]K_{2n+1}[/math] можно представить в виде суммы [math]n[/math] гамильтоновых циклов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]2[/math]-факторизация графа [math]K_7[/math]. Рёбра, отмеченные пунктиром, не пересекают другие рёбра при правильной укладке графа. Для того чтобы в графе [math]K_{2n+1}[/math] построить [math]n[/math] гамильтоновых циклов, непересекающихся по рёбрам, перенумеруем сначала его вершины [math]v_1, v_2, \dots, v_{2n+1}[/math]. На множестве вершин [math]v_1, v_2, \dots, v_{2n}[/math] зададим [math]n[/math] непересекающихся простых цепей [math]P_i=v_i v_{i-1} v_{i+1} v_{i-2} \dots v_{i+n-1}v_{i-n}[/math] следующим образом: [math]j[/math]-ой вершине цепи [math]P_i[/math] является вершина [math]v_k[/math], где [math]k=i+(-1)^{j+1}\dfrac{j}{2}[/math], все индексы приводятся к числам [math]1, 2, \dots, 2n [/math] по модулю [math]2n[/math]. Гамильтонов цикл [math]Z_i[/math] можно получить, соединив вершину [math]v_{2n+1}[/math] с концевыми вершинами цепи [math]P_i[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Замечания

• Факторизация графов используется как один из способов построения покрывающих наборов, используемых при создании тестов для программ с большим количеством параметров.
• [math]1[/math]-факторизация [math]k[/math]-регулярного графа является рёберной [math]k[/math]-раскраской графа.

См. также

• Гамильтоновы графы
• Остовные деревья
• Основные определения теории графов

Источники информации

• Харари Фрэнк Теория графов Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
• Wikipedia — Graph factorization
• Factors and Factorizations of Graphs: Proof Techniques in Factor Theory / Jin Akiyama, Mikio Kano. — Springer Science & Business Media, 2011. ISBN 3642219187, 9783642219184.