Производные и дифференциалы высших порядков

Эта статья находится в разработке!

Определение

Определение:

Производные и дифференциалы высших порядков вводятся индуктивно: [math]f^{(n + 1)} = (f^{(n)})'[/math] [math]f^{(0)} = f[/math]

[math]d^{n + 1}f = d(d^n f)[/math]. Внешнее дифференцирование осуществляется при фиксированном значении независимой переменной.

[math]df = f'(x)dx[/math]
[math]d^2f = d(f'(x) dx) = f^{(2)}(x) dx^2[/math]
[math]d^n f(x) = f^{(n)}(x)dx^n[/math]

Инвариантность формы записи

[math]df(x) = f'(x) dx,\ x = \phi(t),\ F(t) = f(\phi(t))[/math]
[math]dF = [f(\phi(t))]' dt = f'(x) \phi'(t) dt[/math]
[math]dx = \phi'(t) dt,\ df = dF[/math]

Чтобы найти дифференциал сложной функции, достаточно найти дифференциал внешней функции, приращение независимой переменной [math]x[/math] трактовать как приращение зависимой и раскрыть его.

Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка

Пример

[math]f(x) = x^2,\ x = \sin t[/math]

[math]df = 2x dx,\ dx = \cos t dt[/math]

[math]dF = 2 \sin t \cos t dt[/math]

Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка

Однако, уже для второго порядка, это не верно: [math]df = f'(x) \phi'(t) dt[/math]
[math]d^2 F = [f'(x) \phi'(t) dt]' dt = [/math]
[math][f''(x)(\phi'(t))^2 + f'(x) \phi''(t)]dt^2 = [/math]
[math]f''(x) [\phi'(t) dt]^2 + f''(x) \phi''(t) dt^2 = [/math]
[math]f''(x)dx^2 + f''_x(x) d^2 x \ne d^2f[/math]

Упс! Инвариантности нет.

Формула Лейбница

Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница для вычисления [math](uv)^{(n)}[/math]:

[math](uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n - k)}[/math].

Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.