Производные и дифференциалы высших порядков — различия между версиями
Sementry (обсуждение | вклад) м |
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
||
(не показаны 4 промежуточные версии 4 участников) | |||
Строка 19: | Строка 19: | ||
== Инвариантность формы записи == | == Инвариантность формы записи == | ||
− | <tex>df(x) = f'(x) dx,\ x = \phi(t),\ F(t) = f(\phi(t)) | + | <tex>df(x) = f'(x) dx,\ x = \phi(t),\ F(t) = f(\phi(t))</tex><br> |
− | <tex>dF = [f(\phi(t))]' dt = f'(x) \phi'(t) dt</tex> | + | <tex>dF = [f(\phi(t))]' dt = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br> |
− | <tex>dx = \phi'(t) dt,\ df = dF</tex> | + | <tex>dx = \phi'(t) dt,\ df = dF</tex><br> |
Чтобы найти дифференциал сложной [[Отображения|функции]], достаточно найти дифференциал внешней | Чтобы найти дифференциал сложной [[Отображения|функции]], достаточно найти дифференциал внешней | ||
Строка 39: | Строка 39: | ||
<tex>df = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br /> | <tex>df = f'(x) \phi'(t) dt</tex><br /> | ||
<tex>d^2 F = [f'(x) \phi'(t) dt]' dt = </tex><br /> | <tex>d^2 F = [f'(x) \phi'(t) dt]' dt = </tex><br /> | ||
− | <tex>[f''(x)(\phi'(t) | + | <tex>[f''(x)(\phi'(t))^2 + f'(x) \phi''(t)]dt^2 = </tex><br /> |
<tex>f''(x) [\phi'(t) dt]^2 + f''(x) \phi''(t) dt^2 = </tex><br /> | <tex>f''(x) [\phi'(t) dt]^2 + f''(x) \phi''(t) dt^2 = </tex><br /> | ||
<tex>f''(x)dx^2 + f''_x(x) d^2 x \ne d^2f</tex> | <tex>f''(x)dx^2 + f''_x(x) d^2 x \ne d^2f</tex> | ||
Строка 48: | Строка 48: | ||
Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница | Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница | ||
− | для вычисления <tex>( | + | для вычисления <tex>(uv)^{(n)}</tex>: |
− | <tex>( | + | <tex>(uv)^{(n)} = \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n - k)}</tex>. |
Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам. | Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам. | ||
[[Категория:Математический анализ 1 курс]] | [[Категория:Математический анализ 1 курс]] |
Текущая версия на 19:25, 4 сентября 2022
Эта статья находится в разработке!
Содержание
Определение
Определение: |
Производные и дифференциалы высших порядков вводятся индуктивно:
|
. Внешнее дифференцирование осуществляется при фиксированном
значении независимой переменной.
Инвариантность формы записи
Чтобы найти дифференциал сложной функции, достаточно найти дифференциал внешней функции, приращение независимой переменной трактовать как приращение зависимой и раскрыть его.
Инвариантность формы записи дифференциалов первого порядка
Пример
Инвариантность формы записи дифференциалов второго порядка
Однако, уже для второго порядка, это не верно:
Упс! Инвариантности нет.
Формула Лейбница
Определённое значение имеет так называемая формула Лейбница для вычисления
:.
Эта формула доказывается по индукции аналогично биномиальным коэффициентам.