1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
<tex> f </tex> — суммируема и неотрицательна. <tex> \int\limits_E f < + \infty </tex>.
По определению, для любого <tex> \varepsillon varepsilon </tex> существует хорошее <tex> e_{\varepsilon} : \int\limits_E f - \int\limits_{e_{\varepsilon}} f < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \overline{e_{\varepsilon}} = E \setminus {e_{\varepsilon}} </tex>, и по сигма-аддитивности, <tex> \int\limits_E = \int\limits_{e_{\varepsilon}} + \int\limits_{\overline{e_{\varepsilon}}} </tex>.
<tex> \mu e_{\varepsilon} < + \infty </tex> (так как <tex> e_\varepsilon</tex> — хорошее).
<tex> \forall B \subset E, \mu B < \infty </tex>;
<tex> B = B \cap E = B \cap (\overline{e_{\varepsilon}} \cup \overline e_{\varepsilon}) = (B \cap \overline{e_{\varepsilon}}) \cup (B \cap \overline e_{\varepsilon}) = B_1 \cup B_2 </tex>.
<tex> \int\limits_B f = \int\limits_{B_1} f + \int\limits_{B_2} f \le \int\limits_{B_1} M_\varepsilon d \mu + \int\limits_{\overline e_\varepsilon} f \le M_\varepsilon \mu B_1 + \varepsilon \le M_\varepsilon \mu B + \varepsilon</tex>
Итак <tex> \forall B \subset E, \mu B < + \infty </tex>: <tex> \int\limits_B f \le M_{\varepsilon} \mu B + \varepsilon </tex>. Потребуем, чтобы <tex> M_{\varepsilon} \mu B < \varepsilon </tex>. Тогда <tex> \mu B < \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} = \delta </tex>. Тогда получается, что для таких <tex> B: \int\limits_B f < 2 \varepsilon </tex>, если <tex> \mu B < \delta = \frac{\varepsilon}{M_{\varepsilon}} </tex>. Подставляем <tex> \frac{\varepsilon}2 = \varepsilon </tex>.
