Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

<<>>

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).

Определение:

Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_Y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].

Заметим: гарантий, что [math]y^*[/math] единственный и что он вообще существует, нет.

[math]E_Y(x) \ge 0[/math], если [math]x \in Y[/math], то [math]E_Y(x)=0[/math], таким образом, положительной определенности у этого функционала нет.

Утверждение:

Наилучшее приближение является полунормой, то есть выполняются однородность и неравенство треугольника.

[math]\triangleright[/math]

Однородность: [math]\forall \varepsilon \gt 0 [/math], по определению нижней грани [math]\|x-y_{\varepsilon}\| \lt E_Y(x)+\varepsilon[/math], где [math]y_{\varepsilon} \in Y[/math]. [math]|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|\lt |\lambda|E_Y(x)+|\lambda| \varepsilon [/math] По аксиомам нормы: [math]|\lambda|\|x-y_{\varepsilon}\|=\|\lambda x-\lambda y_\varepsilon\|[/math]. Так как [math]Y[/math] — линейное пространство, то [math]\lambda y_{\varepsilon} \in Y[/math] и [math]\| \lambda x - \lambda y_{\varepsilon} \| \ge E_Y(\lambda x)[/math]. Тогда [math]E_Y(\lambda x) \lt |\lambda|E_Y(x)+ |\lambda|\varepsilon[/math], при [math]\varepsilon \to 0[/math] получаем [math]E_Y(\lambda x) \le |\lambda|E_Y(x)[/math]. В обратную сторону: [math]E_Y(x)=E_Y(\lambda \frac{x}{\lambda}) \le |\lambda|E_Y(\frac{x}{\lambda})[/math], то есть, [math]\frac{1}{|\lambda|}E_Y(x) \le E_Y(\frac{x}{\lambda})[/math]. Пусть [math]\mu = \frac{1}{\lambda}[/math], тогда [math]|\mu|E_Y(x) \le E_Y(\mu x)[/math]. Таким образом, получаем два противоположных неравенства, следовательно, [math]E_Y(\lambda x)=|\lambda|E_Y(x)[/math]. Неравенство треугольника: [math]\forall \varepsilon \gt 0[/math]: [math]\|x_1-y_{\varepsilon}\|\lt E_Y(x_1)+\varepsilon[/math] и [math]\|x_2-z_{\varepsilon}\|\lt E_Y(x_2)+\varepsilon[/math]. Складывая два неравенства, получим [math]\|x_1-y_{\varepsilon}\|+\|x_2-z_{\varepsilon}\|\lt E_Y(x_1)+E_Y(x_2)+2\varepsilon[/math]. По свойствам нижней грани, [math]E_Y(x_1+x_2)\le \|(x_1+x_2)-(y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon})\| \le \| x_1 - y_{\varepsilon} \| + \| x_2 - z_{\varepsilon} \| \lt [/math] [math] \lt E_Y(x_1) + E_Y(x_2) + 2\varepsilon[/math], так как [math]y_{\varepsilon}+z_{\varepsilon} \in Y[/math]. При [math]\varepsilon \to 0[/math] приходим к неравенству треугольника: [math]E_Y(x_1+x_2)\le E_Y(x_1)+E_Y(x_2)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Отметим некоторый технический момент: [math]\forall x \in X[/math], [math]\forall y \in Y[/math] выполняется: [math]E_Y(x)=E_Y((x+y)-y)\le E_Y(x+y)+E(-y)[/math], [math]E_Y(-y) = 0[/math], так как [math]-y \in Y[/math], следовательно, [math]E_Y(x) \le E_Y(x+y) \le E_Y(x) + E_Y(y) = E_Y(x)[/math].

Значит, [math]\forall y \in Y E_Y(x)=E_Y(x+y)[/math].

Также, так как [math]0 \in Y[/math], то [math]E_Y(x) \le \|x-0\|=\|x\|[/math], следовательно, [math]E_Y(x) \le \|x\|[/math].

Отсюда, если [math]x_n \to x[/math], то [math]E_Y(x_n) \to E_Y(x)[/math], то есть, [math] E [/math] непрерывно как функционал в норме [math] X [/math].

Основной интерес представляют покрытия [math] X [/math] элементами конечномерных подпространств.

Пусть [math]\dim Y \lt +\infty[/math], [math]Y=\mathcal L(e_1,..,e_p)[/math] ([math] \mathcal L [/math] - линейная оболочка множества), тогда [math]\dim Y = p[/math].

К примеру, [math]\dim H_n = 2n+1[/math], [math]H_n = \mathcal L(1, \cos{x}, \sin{x},..,\cos{nx}, \sin{nx})[/math].

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]e_1, \ldots, e_n[/math] — базис [math]Y[/math], то есть, [math]Y = \mathcal L(e_1,..,e_n)[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(\alpha_1,..,\alpha_n)=\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|[/math], тогда ясно, что [math]E_Y(x)=\inf\limits_{\overline{\alpha}\in \mathbb{R}^n}f(\alpha_1,..,\alpha_n)[/math]. Надо доказать, что существует [math]\overline{\alpha^*}=(\alpha^*_1,..,\alpha^*_n)[/math], на котором достигается эта нижняя грань, тогда в качестве [math]y^*[/math] можно взять [math]y^*=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^*_k e_k[/math]. Доказательство существования будем вести с помощью теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что если функция [math]n[/math] переменных непрерывна на компакте, то она принимает на нем свое минимальное значение. Проверим непрерывность: [math]|f(\overline{\alpha}+\Delta \overline{\alpha})-f(\overline{\alpha})| = |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha_k+\Delta\alpha_k)e_k\|-\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le [/math] [math]\le |\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| + \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta\alpha_k e_k\| - \|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| = [/math] [math] = \|\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta \alpha_k e_k\| \le \sum\limits_{k=1}^{n}|\Delta\alpha_k\||e_k\| \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}[/math] (по неравенству Коши). Заметим, что [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}[/math] — константа для данного базиса, а [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\Delta\alpha^2_k}[/math] — норма для [math]\Delta\overline{\alpha}[/math] в [math]\mathbb{R}^n[/math], тогда из полученного неравенства очевидно, что [math]f[/math] — непрерывна. Пусть [math]M=2E_Y(x)[/math]. Считаем, что [math]x \not\in Y[/math], тогда [math]E_Y(x) \gt 0[/math] (иначе, если [math]E_Y(x)=0[/math], то [math]\forall n[/math] [math]\exists y_n \in Y[/math] такой, что [math]\|x-y_n\| \lt \frac{1}{n}[/math]. Устремляя [math]n \to \infty[/math], получаем, что [math]\|x-y_n\| \to 0[/math]. Так как [math]y_n \to x[/math] в [math]X[/math], а [math]\dim Y \lt \infty[/math], то [math]Y[/math] замкнуто в [math]X[/math], [math]y_n \in Y[/math], значит и [math]x \in Y[/math], что противоречит нашему предположению). Выясним, на каком множестве гарантированно [math]f(\overline{\alpha}) \gt M[/math], то есть, [math]\|x-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \gt M[/math]. [math]\|x - \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \ge \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| - \|x\|[/math], то есть, надо смотреть такие [math]\overline{\alpha}[/math], для которых выполнено условие: [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \gt M + \|x\|[/math]. Если выполнено это неравенство, то в силу предыдущих выкладок, необходимое нам неравенство тоже выполнено. Тогда на совокупности точек [math]\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n[/math] таких, что [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \gt M + \|x\|[/math] функция минимума достигать не может, так как [math]M[/math] само в два раза больше этого минимума. Значит, минимум может достигаться только на [math]T = \{\overline{\alpha} \in \mathbb{R}^n : \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\| \le M + \|x\|\}[/math]. Если убедиться, что это множество — компакт в [math]\mathbb{R}^n[/math], то, по теореме Вейерштрасса, [math]f[/math] примет на нем свое минимальное значение, которое является наилучшим приближением. Компактом в [math]\mathbb{R}^n[/math] называют множество, которое содержит в себе пределы всех своих сходящихся подпоследовательностей, что равносильно ограниченности и замкнутости множества. 1) Замкнутость Пусть [math]\overline{\alpha}^{(m)} \to \overline{\alpha}[/math], [math]\overline{\alpha}^{(m)} \in T[/math], так как сходимость покоординатная, то [math]\alpha^{(m)}_k \to \alpha_k[/math] для [math]k = \overline{1,n}[/math]. Если [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\| \to \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|[/math], то, так как [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_k e_k\|\le M + \|x\|[/math], предел нормы ограничен этим же значением, тогда [math]\overline{\alpha}\in T[/math], и [math]T[/math] замкнуто. [math]|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k\|-\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|| \le \|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha^{(m)}_ke_k-\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_ke_k\|=\|\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)e_k\| \le [/math] [math] \le \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\|e_k\|^2}\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2}[/math]. Так как [math]\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(\alpha^{(m)}_k-\alpha_k)^2} \to 0[/math], то [math]T[/math] — замкнуто. 2) Ограниченность Рассмотрим евклидову норму в [math] \mathbb{R}^n [/math]: [math]\|\overline{\alpha}\| = \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k^2}[/math]. [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k e_k\|=\|\overline{\alpha}\|\|\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}e_k\| \le M + \|x\|[/math]. Обозначим за [math]\beta_k = \frac{\alpha_k}{\|\overline{\alpha}\|}[/math] и заметим, что [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^2=1[/math]. Будем рассматривать суммы [math]\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|[/math], нам необходимо доказать их ограниченность. Обозначим [math]m = \inf\limits_{\|\beta\|=1}\|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k e_k\|[/math]. Нижняя грань(инфимум) берется по единичной сфере в [math]\mathbb{R}^n[/math] (компакт в [math]\mathbb{R}^n[/math]), по непрерывной функции, значит, по теореме Вейерштрасса, найдется [math]\beta^*[/math] такая, что [math]\|\beta^*\|=1[/math] и [math]m = \|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^* e_k\|[/math]. Если предположить, что [math]m = 0[/math], то [math]\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0[/math], но так как [math]e_k[/math] — линейно независимы, то [math]\beta^*=0[/math] и [math]\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2=0[/math]. Но этого быть не может, ведь [math]\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2 = \|\beta^*\|^2 = 1[/math], откуда противоречие. Значит, [math]m\gt 0[/math]. Тогда [math]\|\overline{\alpha}\| \le \frac{M+\|x\|}{m}[/math], [math]T[/math] ограниченно, [math]T[/math] — компакт, теорема доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Можно рассмотреть [math]C[0,1][/math], [math]\|f\|=\max\limits_{x \in [0,1]}|f(x)|[/math]. Если в качестве [math]A_n = \{\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k t^k, \alpha_k \in \mathbb{R}\}[/math] взять конечномерное подмножество [math]C[0,1][/math], далее начинать рассматривать [math]E_n(f)[/math], то, по доказанной теореме, существует [math] T_n(f) \in A_n[/math], такое, что [math]E_n(f)=|f-T_n(f)|[/math].

Так как [math]A_n \subset A_{n+1}[/math], то [math]E_n(f) \ge E_{n+1}(f)[/math], то есть, [math]E_n(f)[/math] — не возрастает и по теореме Вейерштрасса, любая непрерывная функция сколь угодно точно приближается полиномом, а значит, [math]E_n(f) \to 0[/math].

<<>>