1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
{{В разработке}}
Здесь будем рассматривать <tex>f \in L_1</tex>, <tex>\sigma(f, x) = \frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</tex>
Пусть <tex>F(x) = \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt</tex>.
Докажем, что <tex> F(x) \in \bigvee </tex>:
{{Утверждение
|statement=<tex>F \in \bigvee</tex>
|proof=
Нужно доказать <tex>2\pi</tex>-периодичность <tex>F</tex> и ограниченность её вариации.
{{Утверждение
|statement=Ограниченность вариации
|proof=
<tex>|F(x_{k+1}) - F(x_k)| \stackrel{x_k < x_{k+1}}{\le} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a_0}2\right| dt</tex>
Создадим разбиение нашего промежутка: <tex> -\pi = x_0 < \dots < x_p = \pi </tex>. Тогда вариация
<tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi (F, \tau) </tex>
<tex>\le \sum\limits_{k=0}^{p-1} \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}} \left|f(t) - \frac{a}2 \right| dt = </tex>
<tex>\int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| dt < +\infty</tex>.
Так как это выполняется для любого разбиения, <tex>\bigvee\limits_{-\pi}^\pi(F) \le \int\limits_Q \left|f(t) - \frac{a_0}2 \right| < +\infty</tex>. Итак, <tex>F</tex> имеет ограниченную вариацию на <tex>Q</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=<tex>F</tex> {{---}} <tex>2\pi</tex>-периодичная функция.
|proof=
<tex>F(x + 2\pi) = \int\limits_0^{x+2\pi} = \int\limits_0^x + \int\limits_x^{x+2\pi}</tex>
Под знаком интеграла <tex>2\pi</tex>-периодическая функция, значит,
<tex>\int\limits_x^{x+2\pi} = \int\limits_{-\pi}^\pi \left(f(t) - \frac{a_0}2\right) dt </tex>
<tex>= \int\limits_{-\pi}^\pi f - \pi a_0</tex> = [по определению <tex>a_0</tex>] <tex>\pi a_0 - \pi a_0 = 0</tex>
<tex>\int\limits_0^x = F(x) \Rightarrow F(x + 2\pi) = F(x)</tex>
}}
}}
Итак, <tex>F \in \bigvee</tex>. Значит,по [[теорема Жордана|теореме Жордана]], в каждой точке ряд Фурье этой функции сходится,
<tex>\sigma(F, x) = \frac{F(x - 0) +F(x+0)}2</tex>
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, легко понять, что <tex>F</tex> {{---}} непрерывна и <tex>F \in CV</tex>,
а также, <tex>\sigma(F, x) = F(x)</tex>
Теперь вычислим коэффициенты Фурье <tex>F</tex>. <tex>a_0(F)</tex> считать пока не будем. Также предположим (докажем это позже), что <tex>F</tex> для почти всех <tex>x</tex> дифференцируема по верхнему пределу интегрирования, и значение производной равно <tex>f(x)</tex>.
<tex>a_n(F) = \frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi F(x) \cos nx dx = \frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi F(x) d(\sin nx) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (F(x) \sin x) \bigl |^\pi_{-\pi} - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) ) = </tex>
<tex> \frac1{\pi n} (0 - \int\limits_{-\pi}^\pi \sin x dF(x)) = -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi \sin nx dF(x) =</tex>
<tex> -\frac1{\pi n} \int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx = -\frac{b_n(f) \pi}{\pi n} = -\frac{b_n(f)}{n} </tex>
Значит, <tex>a_n(F) = \frac{-b_n(f)}{n}</tex>. Аналогично, <tex>b_n(F) = \frac{a_n(f)}{n}</tex>. В силу сказанного выше,
<tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx)</tex>
Подставим <tex>0</tex> и убедимся, что <tex>\frac{a_0(F)}2 = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
Получился неожиданный факт. Ряд Фурье может расходиться почти всюду, но <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n</tex>
всегда сходится.
Это позволяет приводить примеры сходящихся тригонометрических рядов, которые не являются рядами Фурье.
Рассмотрим ряд <tex>\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{\sin nx}{\ln n}</tex>. Очевидно, <tex>\frac1{\ln n} \to 0</tex>.
При <tex>x = 0</tex> ряд сходится. При <tex>x \ne 0</tex>, <tex>\left|\sum\limits_{n=2}^\infty \sin nx \right| \le \frac{M(x)}{\sin x/2}</tex>, то есть, ограничен.
По признаку Абеля-Дирихле, ряд сходится. Мы имеем ряд, сходящийся в каждой точке, но не может сходиться равномерно на Q, так как, иначе, он был бы рядом Фурье. Пусть он сходится равномерно на <tex>Q</tex>. Тогда он сходится к непрерывной функции. Функция, непрерывная и <tex>2\pi</tex>-периодическая, следовательно, лежит в <tex>L_1</tex>. Значит, это {{---}} ряд Фурье этой функции (по определению). Но это не ряд Фурье. Противоречие.
Предположим, что это ряд Фурье. Тогда <tex>b_n(f) = \frac1{\ln n}</tex> и ряд <tex>\sum \frac1{n\ln n}</tex> должен был бы сходиться. Но по интегральному признаку Коши:
<tex>\sum \frac1{n\ln n} \sim \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \ln x \big|^\infty = +\infty</tex>.
Значит, это не ряд Фурье.
Вернёмся ещё раз к формуле <tex>F(x) = \frac{a_0(F)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{-b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n \sin nx\right)</tex>. Рассмотрим <tex>A_n(f, x) = a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx</tex>, при <tex>(n \ge 1)</tex>, и <tex>A_0(f, x) = \frac{a_0}{2}</tex>.
<tex>\int\limits_0^x A_n(f, t) dt = \frac{a_n(f)}n \sin nt \big|^x_0 - \frac{b_n(f)}n \cos nt \big|^x_0</tex>
<tex>=\frac{a_n(f)}n \sin nx - \frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{b_n(f)}n</tex>
Значит, если составить ряд из интегралов <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, x) dx</tex>
<tex>= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{b_n(f)}n + \sum\limits_{n=1}^\infty\left(-\frac{b_n(f)}n \cos nx + \frac{a_n(f)}n\sin nx \right) = </tex>
<tex>= \int\limits_0^x \left(f(t) - \frac{a_0}2 \right) dt = \int\limits_0^x f(t) dt - \int\limits_0^x A_0(f, t) dt</tex>.
Получаем, <tex>\int\limits_0^x f(t) dt = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_0^x A_n(f, t) dt</tex>.
Ряд Фурье всегда можно интегрировать, несмотря на то, что сам ряд может расходиться в каждой точке. Но ряд из интегралов обязательно сойдётся.
[[Теорема Жордана|<<]][[L_2-теория рядов Фурье|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
