1632
правки
Изменения
м
Использование матриц приводит к более компактной записи условий.По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, рассмотренному ранее.
следовательноСледовательно,
== Оценка будущих продаж ==[[Марковская цепь|Цепи Маркова ]] также применяются при оценке будущих продаж. Например, сделав опрос среди покупателей той или иной марки автомобиля о их следующем выборе, можно составить матрицу <tex> T </tex>.
== Литература Источники информации ==
rollbackEdits.php mass rollback
== Обозначения ==
Предположим, что проводится серия экспериментов с возможными исходами <tex>s_1,s_2,s_3,...\ldots s_n</tex>. Назовём эти исходы '''состояниями'''. *<tex>p_i^{(0)} </tex> — вероятность того, что мы начинаем в состоянии <tex>s_i</tex>;*<tex>p_{ij} </tex> — вероятность того, что в результате эксперимента состояние было изменено от состояния <tex>s_i</tex> к состоянию <tex>s_j</tex>. ;
Если <tex>p_i^{(1)}</tex> вероятность того, что исходом эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex>. Тогда
<tex>p_i^{(1)} = p_1^{(0)}p_{1i} + p_2^{(0)}p_{2i} + p_3^{(0)}p_{3i} + ... \ldots +p_n^{(0)}p_{ni}</tex> . <tex> (*)</tex>
Это означает, что вероятность исхода в состоянии <tex>s_i</tex> равна сумме вероятностей начать эксперимент в некотором другом состоянии и окончить в <tex>s_i</tex>.
Также заметим , что:
<tex>p_{j1}+p_{j2}+p_{j3}+ ... \ldots +p_{jn} = 1</tex>.*Матрица <tex>T </tex> называется матрицей перехода. В общем случае она имеет вид:
<tex>
\begin{bmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & ... \ldots & p_{1n} \\p_{21} & p_{22} & p_{23} & ... \ldots & p_{2n} \\p_{31} & p_{32} & p_{33} & ... \ldots & p_{3n} \\p_{41} & p_{42} & p_{43} & ... \ldots & p_{4n} \\. \vdots & . \vdots & . \vdots & ... \vdots & .\\. & . & . & ... & .vdots \\. & . & . & ... & .\\p_{n1} & p_{n2} & p_{n3} & ... \ldots & p_{nn} \\
\end{bmatrix}
</tex>.
Пусть
<tex> p^{(0)}=</tex> <tex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)},... \ldots ,p_n^{(0)})</tex> и <tex> p^{(1)}=</tex> <tex>(p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)},...\ldots,p_n^{(1)}),</tex>
тогда
<tex> (p_1^{(1)},p_2^{(1)},p_3^{(1)}... \ldots ,p_n^{(1)})=</tex><tex>(p_1^{(0)},p_2^{(0)},p_3^{(0)}.. \ldots ,p_n^{(0)})</tex>
<tex>
\begin{bmatrix}
p_{11} & p_{12} & p_{13} & ... \ldots & p_{1n} \\p_{21} & p_{22} & p_{23} & ... \ldots & p_{2n} \\p_{31} & p_{32} & p_{33} & ... \ldots & p_{3n} \\p_{41} & p_{42} & p_{43} & ... \ldots & p_{4n} \\. \vdots & . \vdots & . \vdots & ... & .\\. & . & . & ... vdots & .\\. & . & . & ... & .vdots\\p_{n1} & p_{n2} & p_{n3} & ... \ldots & p_{nn} \\
\end{bmatrix}
</tex>. Использование матриц приводит к более компактной записи условий. По своей сути, перемножение строки <tex> p_i^{(0)} </tex> с матрицей <tex> T </tex> эквивалентно уравнению <tex> (*) </tex>, рассмотренному ранее.
== Прогноз погоды ==
=== Условие ===
Погода классифицируется в прогнозах как ясная, умеренно пасмурная и пасмурная.
#Если погода ясная, то вероятность, что она будет ясной на следующий день, составляет <tex>0.5</tex>; вероятность, что она будет умеренно пасмурной, равна <tex>0.4</tex>; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет <tex>0.1</tex>. #Если погода умеренно пасмурная, то вероятность, что на следующий день она будет ясной, равна <tex>0.3</tex>; вероятность, что погода останется умеренно пасмурной, равна <tex>0.5</tex>; а вероятность пасмурной погоды на следующий день составляет <tex>0.2</tex>.#Если же погода пасмурная , то вероятность, что она будет ясной на следующий день она останется пасмурной, равна составляет <tex>0.42</tex>; вероятность, что она станет умеренно пасмурной, равна <tex>0.4</tex>; а вероятность того, что она будет ясной на следующий день составляет она останется пасмурной, равна <tex>0.24</tex>.
Вопрос 1 : Если вероятность ясной погоды в воскресенье равна <tex>0.6</tex>, а вероятность умеренно пасмурности пасмурной — <tex>0.4</tex>, то какова вероятность, что погода в понедельник будет ясной?
Вопрос 2 : Какова вероятность, что во вторник погода будет умеренно пасмурной?
=== Решение ===
пасмурно, то:
<tex>p^{(0)} =</tex> <tex>(0.6,0.4,0)</tex>,
<tex>
0.2 & 0.4 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>.
<tex>p^{(1)} = </tex> <tex>(0.6,0.4,0) \times</tex>
<tex>
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.37,0.444,0.186)</tex>.
Следовательно, вероятность того, что во вторник будет умеренно пасмурная погода равна <tex>0.444</tex>.
Пусть <tex>p_i^{(m)} </tex> — вероятность, что исходом m-го проведения эксперимента будет состояние <tex>s_i</tex> и
<tex>p^{(m)} =</tex> <tex>(p_1^{(m)},p_2^{(m)},p_3^{(m)},...\ldots,p_n^{(m)}).</tex>
{{Теорема
|id=идентификатор (необязательно), пример: th1.
|statement=Для любого положительного целого числа <tex>m </tex> выполняется <tex>p^{(m)} =</tex> <tex>p^{(0)} \times T^{(m)}</tex>.|proof=Докажем теорему, используя индукцию.Было показано(в примере про погоду), что для <tex> m = 1 </tex> утверждение справедливо. Предположим,что оно справедливо для <tex>n=k</tex> , так что <tex>p^{(k)} =</tex> <tex>p^{(0)} \times T^{(k)}.</tex>Поскольку
<tex>p_j^{(k+1)} = </tex> <tex>p_1^{(k)}p_{1j} +</tex> <tex>p_2^{(k)}p_{2j} +</tex> <tex>p_3^{(k)}p_{3j} +</tex> <tex>p_n^{(k)}p_{nj} </tex>
, то
<tex>p^{(k+1)} = </tex> <tex>p^{(k)} T =</tex> <tex>p^{(0)} T^k T =</tex> <tex>p^{(0)} T^{k+1}.</tex>
}}
== Оценка будущих продаж ==
=== Условие ===
В процессе опроса владельцев автомобилей трех американских марок: марки <tex>A</tex>, марки <tex>B</tex>, марки С<tex>C</tex>, им был задан вопрос о том, какую торговую марку они бы выбрали для следующей покупки.
#Среди владельцев автомобилей марки <tex>A </tex> <tex>20\% </tex> сказали что выберут опять эту же марку, <tex>50 \%</tex> сказали, что они бы перешли на марку <tex>B\%</tex>, а <tex>30\% </tex> заявили, что предпочли бы марку С<tex>C</tex>. #Среди владельцев автомобилей марки <tex>B </tex> <tex>20\% </tex> сказали, что перейдут на марку <tex>A</tex>, в то время как <tex>70\% </tex> заявили, что приобрели бы опять автомобиль марки <tex>B</tex>, а <tex>10\% </tex> заявили, что в следующий раз предпочли бы марку <tex>C</tex>. #Среди владельцев автомобилей С, <tex>C</tex> <tex>30\% </tex> ответили, что перешли бы на марку <tex>A</tex>, <tex>30\% </tex> сказали, что перешли бы на марку <tex>B</tex>, а <tex>40\% </tex> заявили, что остались бы верны той же марке С<tex>C</tex>.
Вопрос 1 : Если некто приобрел автомобиль марки <tex>A</tex>, то какова вероятность, что его второй машиной будет автомобиль марки <tex>C?</tex>
Вопрос 2 : Если при покупке первой машины покупатель подбросил монету, выбирая между автомобилями марки <tex>B </tex> и С<tex>C</tex>, то какова вероятность, что его третьей машиной станет автомобиль марки <tex>B? </tex>
=== Решение ===
0.3 & 0.3 & 0.4
\end{bmatrix}
</tex>.
Для ответа на первый вопрос имеем: <tex>p^{(0)} =</tex> <tex>(1,0,0)</tex> , поэтому
<tex>p^{(1)} = </tex> <tex>(1,0,0) \times</tex>
</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.2,0.5,0.3)</tex>.
Вероятность того, что вторая машина будет марки С<tex>C</tex>, равна <tex>0.3</tex>. Для ответа на второй вопрос требуется найти
<tex>T^{(2)} = </tex>
0.24 & 0.48 & 0.28
\end{bmatrix}
</tex>.
Для <tex>(2) </tex> имеем <tex>p^{(2)} = </tex> <tex> (0,0.5,0.5) </tex> и
<tex>p^{(2)} = </tex> <tex>(0,0.5,0.5) \times</tex>
<tex> = </tex>
<tex>(0.225,0.55,0.225)</tex>
поэтому вероятность того, что второй автомобиль будет марки <tex>A </tex> равна <tex>0.225</tex>.
==См. также==
*[[Марковская цепь]]
*[[Эргодическая марковская цепь]]
*[[Регулярная марковская цепь]]
*[[Фундаментальная матрица]]
* ''Марков А. А.'', Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга. — Известия физико-математического общества при Казанском университете. — 2-я серия. — Том 15. (1906) — С. 135—156.
* ''Kemeny J. G., Snell J. L.'', Finite Markov chains. — The University Series in Undergraduate Mathematics. — Princeton: Van Nostrand, 1960 (перевод: ''Кемени Дж. Дж., Снелл Дж. Л.'' Конечные цепи Маркова. — М.: Наука. 1970. — 272 с.)
[[Категория:Дискретная математика, и алгоритмы ]][[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Марковские цепи ]]
