Изменения

Для некоторого множества <tex>X</tex>, отображение <tex> \rho : X \times X \rightarrow to \mathbb{R^+} </tex> {{---}} называется '''метрикой''' на <tex>X</tex>, если выполняются аксиомы

* <tex>X = \mathbb{R}, \rho(x, y) = | x - y |</tex>111 

 * <tex>X = \mathbb{R}^{\infty}</tex>. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: <tex>\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}</tex>(стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является <tex>R^{\infty}</tex>). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:

** третья аксиомалегко вытекает из следующего утверждения: рассмотрим {{Утверждение|statement=<tex> {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}</tex>|proof=Рассмотрим <tex>f(t) = {t \over 1 + t}</tex>. * <tex> f(t) </tex> возрастает при <tex> t \in [0, \infty) </tex>, поэтому, если <tex> 0 \le t_1 < t_2 </tex>, <tex> f(t_1) < f(t_2) </tex>* <tex> \frac{f(t)}{t} = \frac{1}{1 + t}</tex> убывает при <tex>t \in [0, \infty)</tex>Покажем, что для <tex>f</tex> выполняется <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>. <tex>f(t_1) + f(t_2) = t_1 \frac{1}{1 + t_1} + t_2 \frac{1}{1 + t_2} \ge</tex>(по убыванию <tex>\frac{1}{1 + t}</tex>)<tex>\ge t_1 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} + t_2 \frac{1}{1 + t_1 + t_2} = \frac{t_1 + t_2}{1 + t_1 + t_2} = f(t_1 + t_2)</tex>. Так как <tex> |x - z| \le |x - y| + |y - z| </tex> по свойствам <tex> | \cdot | </tex> и <tex>f</tex> выпукла вверхвозрастает, то <tex> f(|x - z|) \le f(|x - y| + |y - z|)</tex>. Так как знаем, что <tex>f(t_1 + t_2) \le f(t_1) + f(t_2)</tex>, получаем <tex>f(|x - y| + |y - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>, то есть все три аксиомы выполняютсяполучили <tex>f(|x - z|) \le f(|x - y|) + f(|y - z|)</tex>. TODO: ШТО? Почему?( Откуда это неравенство и как из этого следует выполнение аксиомы?*: }}  {{Утверждение|id=rinfcoordconv|statement=Сходимость в этой метрике <tex> \mathbb{R}^{\infty} </tex> эквивалентна покоординатной . |proof=Рассматриваем <tex> f(t) = \frac{t}{1+t} </tex>, как и в прошлом утверждении.Пусть <tex> x^{(n)} = (x^{(n)}_1, \dots, x^{(n)}_k, \dots), x = (x_1, \dots, x_k, \dots) </tex>. Покажем, что <tex> x^{(n)} \to x \iff \forall k: x^{(n)}_k \to x_k </tex>.  В прямую сторону: <tex> f(|x^{(n)}_k - x_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x) </tex>. Пусть <tex> \rho(x^{(n)}, x) < {\varepsilon \over 2^k} </tex>. Тогда <tex> f(|x^{(TODOn)}_k - x_k|) \le \varepsilon </tex>. Так как <tex> t = {1 \over 1 - f(t)} - 1 </tex>, то <tex> t \to 0 </tex>, когда <tex> f(t) \to 0 </tex>, а значит, покоординатная сходимость выполняется.  В обратную сторону: подберем такое <tex> k_0 </tex>, чтобы <tex> {\sum\limits_{k = k_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^k}} < \varepsilon </tex>. Возьмем <tex> n_0 </tex> таким, чтобы <tex> \forall k \le k_0, n > n_0: почему?|x^{(n)}_k - x_k| < \varepsilon </tex>.Тогда <tex> \rho(x^{(n)}, x) < \sum\limits_{k = 1}^{k_0} {\varepsilon \over 2^k} + \varepsilon < 2 \varepsilon </tex>. Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, получаем необходимое. }} 

* <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>, то есть множество всех функций из <tex>\mathbb{I} = [0; 1]</tex> в <tex>\mathbb{R}</tex>. Это пространство не метризуется, то есть не существует метрики, в которой сходимость эквивалентна поточечной (TODO<ref>Кому интересно: почемуметрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности, а она не может выполняться в <tex>X = \mathbb{I}^{\mathbb{I}}</tex>, которое понятно как сводится к <tex>X = \mathbb{R}^{\mathbb{I}}</tex>: [http://math.stackexchange.com/questions/65472/why-is-0-10-1-not-first-countable ''Why is <tex>[0,1]^{[0,1]}</tex> not first countable??)'']</ref>.

# <tex> X, \emptyset varnothing \in \tau</tex>

Пару <tex>(X, \tau)</tex> называют '''топологическим пространством'''. Множества, принадлежащие <tex>\tau</tex> , называются '''открытыми'''. (по Хаусдорфу ???). '''Замкнутыми''' называются множества-дополнения к множествам из <tex>\tau</tex>.

'''Замыкание Замыканием (closure)''' множества <tex>A</tex> называется множество <tex>\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F</tex>, где <tex> F </tex> — замкнутые множества.

Точка $<tex>x$ </tex> называется '''пределом последовательности $<tex>x_n$ </tex> в топологическом пространстве'''' $<tex>(X, \tau)$</tex>, если $<tex>\forall G \ni x \ \exists N \ \forall n > N: x_n \in G$</tex>, то есть любое открытое множество, содержащее предел, также содержит все точки последовательности кроме конечного числа.

Множество $<tex>U$ называет </tex> называется '''окрестностью''' точки <tex> x </tex> в ТП, если существует открытое $<tex>G$</tex>: $<tex>x \in G \subset U$</tex>.

Отображение $<tex>f: (X, \tau_1) \to (Y, \tau_2)$ </tex> называют непрерывным в точке $<tex>x \in X$</tex>, если для любой окрестности $<tex>U_{f(x)}$ </tex> существует окрестность $<tex>U_x$</tex>: $<tex>f(U_x) \subset U_{f(x)}$</tex>.

Характеристика непрерывных отображений ТП: $<tex>f$ </tex> непрерывно тогда и только тогда, когда если для любого $<tex>G' \in \tau_2: f^{-1}(G') \in \tau_1$</tex>, то есть прообраз любого открытого множества также открыт. (TODO: в <ref>В конспекте только в прямую сторону, но вообще , вроде , это критерий. Док-во есть в Колмогорове, элементы теории функции и функана, 6 издание, страница 107).</ref>

Рассмотрим Для любого МП $<tex>(X, \rho)$, </tex> можно ввести '''метрическую топологию''': выделим в <tex> X </tex> семейство открытых множеств <tex>\tau</tex> множества, являющимися объединениями любого (TODO счетного/возможно, несчетного??) числа открытых шаров. Покажем, что это семейство удовлетворяет аксиомам ТП:# Очевидно (видимо, $<tex>X = \bigcup\limits_{x \in X}\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}U_i(x)$, где $x$ — любая точка $X$ если оно непустое, а если пустое, то просто не будем брать ни одного множества)</tex>.# Очевидно (TODO: а по-моему, не очень очевидно, как показать, что несчетное объединение несчетных/счетных объединений шаров — просто несчетное объединение шаров?).# Докажем для пересечения двухмножеств, дальше по индукции:#: $<tex>G_1 \bigcap G_2 = (\bigcup \limits_{\alpha} V') \bigcap (\bigcup \limits_{\beta} V'') = \bigcup \limits_{\alpha, \beta} (V' \bigcap V'')$</tex>. (TODO: интересноТо, почему что так можно так сделать, доказывается включением в обе стороны)#: Рассмотрим $<tex>V' \bigcap V''$</tex>: $<tex>\forall x \in V' \bigcap V'' \exists V(x) \subset V' \bigcap V''$ </tex> ([[Метрическое пространство#Открытые шары | раньше когда-то доказывали]]), тогда $<tex>V' \bigcap V'' = \bigcup\limits_{x \in V' \cap V''} V(x)$ (TODO: опять же, интересно, почему счетное</несчетное объединение несчетного числа шаров — счетное/несчетное объединение шаров)tex>

'''Базой топологии''' называютнекоторый набор открытых множеств <tex>\sigma</tex>, такой, что <tex> \forall G \in \tau:\ G = \bigcup\limits_{V \in \sigma} V </tex>, то есть, любое непустое открытое множество можно представить в виде объединения множеств из <tex>\sigma</tex>.}} {{Утверждение|id=contrho|statement=Функция <tex>f(x) = \rho(x, A)</tex> равномерно непрерывна.|proof=<tex>\forall a \in A, x_1, x_2 \in X: \rho(x_1, a) \le \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, a)</tex> <tex>\rho(x_1, A) \le \rho(x_1, a), \forall \varepsilon > 0\ \exists a_\varepsilon \in A: \rho(x_2, a_\varepsilon) < \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex> Значит, <tex>\rho(x_1, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_2, A) + \varepsilon</tex>. Аналогично, <tex>\rho(x_2, A) < \rho(x_1, x_2) + \rho(x_1, A) + \varepsilon</tex>. TODO пщщ в конспекте какая Отсюда, <tex>|\rho(x_1, A) -то хрень\rho(x_2, A)| < \rho(x_1, x_2) + \varepsilon</tex>, устремляя <tex>\varepsilon</tex> к нулю, получаем равномерную непрерывность <tex>f</tex> по определению. 

$<tex>\mathrm{Cl} A = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}$</tex>, где $<tex>\rho(x, A) = \inf\limits_{a \in A} \rho(x, ya)$</tex>.TODO|proof=Обозначим <tex>B = \{ x \mid \rho(x, A) = 0 \}</tex>. Понятно, что если некоторая последовательность <tex>x_n \in B</tex> сходится к <tex>x</tex>, то <tex>\rho(x_n, A) = 0</tex>, и <tex>\rho(x, A) = 0</tex>, то есть, по определению <tex>B</tex>, <tex>x \in B</tex>. Значит, <tex>B = \mathrm{Cl} B</tex>, <tex>B</tex> замкнуто. Если <tex>a \in A</tex>, то <tex>\rho(a, A) = 0</tex> и <tex>a \in B</tex>. Значит, <tex>A \subset B</tex>, а раз <tex>B</tex> замкнуто, то <tex>\mathrm{Cl} A \subset B</tex>. Теперь покажем, что <tex>B \subset \mathrm{Cl} A </tex>, то есть <tex>B \subset \bigcap\limits_{A \subset F } F </tex>, или что для любого <tex>F: A \subset F</tex>, выполняется <tex>B \subset F</tex>. Допустим, это неверно, и <tex>\exists b \in B: b \notin F</tex>, тогда <tex>b \in X \setminus F = G = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(x_\alpha)</tex>. Значит, <tex> b \in V_r(b) \subset X \setminus F</tex>. <tex>b \in B, \rho(b, A) = 0</tex>, следовательно, есть последовательность <tex>a_n \in A: какое-то странное вспомогательное утверждение про непрерывность\rho(b, a_n) \to 0</tex>. Для всех <tex>n</tex>, больших некоторого <tex>N</tex>, <tex>\rho(b, a_n) < r</tex>, и <tex>a_n \in V_r(b)</tex>, <tex>A \cap V_r(b)</tex> непусто.

TODO: аааНо <tex>A \subset F \implies A \cap G = \varnothing </tex> {{---}} противоречие, ниче не понятно. Кажется, доказательство через включение в обе стороны<tex>B \subset F</tex>.

Замечание: заметим, что в общем случае в топологических пространствах замыкания не определяются через предел последовательности, в этом смысле метрические пространства удобны. Метрические пространства удовлетворяют свойству [http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom#Main_definitions аксиоме нормальности]:

$ <tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} $</tex>. Т.к. $ <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing $ </tex> и $ <tex> F_1, F_2 $ </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, $ <tex> f(x) $ </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности $ <tex> \rho $</tex>. При этом: $ <tex> x \in F_1 \Rightarrow implies f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 $</tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: $ <tex> (- \infty; \frac 1 3) $ </tex> и $ <tex> (\frac 1 2, + \infty) $</tex>. Т.к. $ <tex> f(x) $ </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество (это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее).: $ <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) $</tex>: $ <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing $</tex>, ч.т.д.

Следствие: так как одноточечные подмножества в МП являются замкнутыми, МП удовлетворяют аксиоме отделимости Хаусдорфа: любые две различные точки можно отделить открытыми шарами. (TODO: вообще в аксиоме говорится про окрестности, а не шары, важно ли это?)

$A$ '''всюду плотно''' в ${{Утверждение|about=принцип вложенных шаров|statement=Пусть <tex>(X, \rho)$, если $</tex> — полное. <tex>\overline V_n</tex> — замкнутые шары. <tex>\mathrmoverline V_{Cln + 1} A = X$: Например\subset \overline V_n</tex>, $<tex>r_n \to 0</tex>. Тогда <tex>\bigcap\mathbblimits_{Qn=1}$ всюду плотно в $^{\mathbb{Rinfty}$, так как $\mathrm{Cl} overline V_n \ne \mathbb{Q} varnothing</tex>, и состоит из одной точки.|proof= Пусть <tex>a_n</tex> — центр соответствующего шара, тогда из вложенности <tex>\mathbb{R}$ forall m > n: \rho(TODO:охa_n, a_m) < r_n</tex>, то есть последовательность центров сходится в себе, что бы это значило. Видимотак как <tex>r_n \to 0</tex>, что множество действительных чисел строится включением пределов последовательностей рациональныхтогда по полноте пространства последовательность центров сходится к <tex>a \in X</tex>.)

Если всюду плотное Покажем, что <tex> a \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n </tex>, то есть <tex>\forall n: a \in \overline V_n</tex>. Для любого <tex>n</tex> шар <tex>\overline V_n </tex> содержит все точки последовательности <tex>\{a_n \}</tex>, кроме конечного числа. Тогда оставшаяся последовательность центров содержится в <tex>\overline V_n</tex> и также сходится к <tex>a</tex>, а так как <tex> \overline V_n</tex> — замкнутое множество счетно, то [[Метрическое пространство называют '''сепарабельным'''#Основное характеристическое свойство замкнутых множеств | оно содержит предел этой последовательности]] и <tex>a \in \overline V_n</tex>.

$A$ '''нигде Также, кроме <tex>a </tex> в пересечение ничего входить не плотно''' может: пусть в $(Xнего еще входит точка <tex>b</tex>, тогда <tex>\rho(a, b)$> 0</tex>, если $возьмем шар в пересечении радиусом меньше <tex>\mathrm{Int} rho(a, b) \mathrm{Cl} A = \emptyset$. В смысле метрических пространств это значитover 2</tex> (такой есть по стремлению радиусов к <tex>0</tex>), что но в любом шаре есть шарнем может лежать только одна из точек <tex>a, не содержащий точек $A$b</tex>.: Например, $\mathbb{Z}$ нигде не плотно в $\mathbb{R}$.

|id=defmscompldefdense|definition=<tex>A</tex> '''всюду плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Cl} A = X</tex>: Например, <tex>\mathbb{Q}</tex> всюду плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>, так как <tex>\mathrm{Cl} \mathbb{Q} = \mathbb{R}</tex>. Если в пространстве существует счетное всюду плотное множество, такое пространство называют '''сепарабельным'''. <tex>A</tex> '''нигде не плотно''' в <tex>(X, \rho)</tex>, если <tex>\mathrm{Int} \mathrm{Cl} A = \varnothing</tex>.: Например, <tex>\mathbb{Z}</tex> нигде не плотно в <tex>\mathbb{R}</tex>.}} {{Утверждение|statement=Пусть <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> (X, \rho) </tex>. Тогда в любом шаре есть шар, не содержащий точек <tex>A</tex>.|proof=Пусть <tex> B = \mathrm{Cl} A </tex>, так как <tex> A </tex> нигде не плотно в <tex> X </tex>, то <tex> \mathrm{Int} B = \varnothing </tex>. Это значит, что <tex>\bigcup\limits_{G \subset B} G = \varnothing </tex>, то есть, любое непустое открытое <tex> G </tex> не является подмножеством <tex> B </tex>. Рассмотрим произвольный открытый шар <tex> V </tex>, <tex> V = (V \cap B) \cup (V \cap \overline B) </tex>. Из наших рассуждений следует, что <tex> V \cap \overline B </tex> непусто. Но <tex> \overline B </tex> {{---}} открытое множество, <tex> \overline B = \bigcup\limits_{\alpha} V_{r_\alpha}(a_\alpha) </tex>, <tex> \exists V_1: V \cap V_1 \ne \varnothing </tex>. Тогда можно просто выбрать <tex> V_r(a) \subset V \cap V_1 </tex>, он и будет искомым шаром без точек <tex> A </tex>.}} {{Определение|id=defbaire|definition=Подмножество <tex>A</tex> топологического пространства <tex>X</tex> имеет '''I категорию по Бэру в пространстве <tex>X</tex>''', если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в <tex>X</tex> множеств. В противном случае оно имеет '''II категорию по Бэру'''.}} {{Теорема|id=thbaire|author=Бэр|statement=Полное МП является множеством II категории в себе.|proof=Пусть <tex>X</tex> — полное и является множеством I категории, то есть представимо как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} M_n</tex>, где <tex>M_n</tex> — нигде не плотно в <tex>X</tex>. Возьмем замкнутый шар <tex>\overline V_0</tex>, например, радиуса 1. Так как <tex>M_1</tex> нигде не плотно в <tex>X</tex>, оно также нигде не плотно в <tex>\overline V_0</tex>, а, значит, существует замкнутый шар <tex>\overline V_1</tex> радиуса меньше <tex>1 \over 2</tex>, содержащийся в <tex>\overline V_0</tex> и не пересекающийся с <tex>M_1</tex> (<tex>M_1 \cap \overline V_1 = \varnothing</tex>). Аналогично, <tex>M_2</tex> нигде не плотно в <tex>\overline V_1</tex>, и так далее действуя таким образом, построим систему вложенных замкнутых шаров (<tex>\overline V_{n+1} \subset \overline V_n</tex>) со стремящимся к нулю радиусом. В силу теоремы о вложенных шарах пересечение этих шаров должно содержать какую-то точку <tex>x</tex>, но эта точка не может лежать ни в одном из множеств <tex>M_n</tex> по построению, то есть, получили противоречие, и <tex>X</tex> не является множеством первой категории.}} {{Утверждение|about=следствие из т. Бэра|statement=Полное МП без изолированных точек несчетно.|proof=Пусть <tex>(X, \rho)</tex> — МП без изолированных точек (то есть в любой окрестности любой точки найдутся точки, отличные от нее). Пусть <tex>X</tex> — счетно, то есть, можно занумеровать его элементы как <tex>\{ x_1 \dots x_n \dots \}</tex> и представить <tex>X</tex> как <tex>\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} \{ x_n \}</tex>. Но одноточечные множества нигде не плотны в <tex>X</tex>: рассмотрим шар <tex> V_r(p) </tex>, если <tex> p = x_n </tex>, то внутри шара есть шар с центром не в <tex> x_n </tex> меньшего радиуса, так как <tex> x_n </tex> не является изолированной точкой; для остальных шаров можно взять шар радиуса, меньшего, чем <tex> \rho(x, p) </tex> с центром также в <tex> p </tex>. Тогда <tex> X </tex> является множеством I категории, что противоречит теореме Бэра. Следовательно, <tex>X</tex> должно быть несчетно.}} Это следствие объясняет природу несчетности вещественной оси.  {{Определение|id=defmscompact|definition=Замкнутое <tex>K \subset X</tex> называют '''компактом''', если из любой последовательности точек в <tex>K</tex> можно выделить сходящуюся подпоследовательность, предел которой также принадлежит <tex> K </tex>.}} {{Определение|id=defmstb

МП $(<tex>A \subset X, \rho)$ называется </tex> называют '''полнымвполне ограниченным''', если для него при любом <tex>\varepsilon</tex> существует конечная <tex>\varepsilon</tex>-сеть, то есть <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists x_1, x_2 \dots x_n: A \subset \bigcup\limits_{i=1}^n V_{\varepsilon}(x_i)</tex>.}} {{Теорема|id=thhausdorf|author=Хаусдорф|statement=В полном метрическом пространстве множество является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено.|proof=[[Теорема Хаусдорфа об ε-сетях]]}} {{Утверждение|statement=Пример: <tex>R^{\infty}</tex> — полное.|proof=Нужно установить равносильность сходимости <tex> \overline x^{(n)} \in R^{\infty} </tex> и ее сходимости в себе. <tex> \implies </tex>: Пусть <tex> \lim\limits_{n \to \infty} x^{(n)} = x </tex>. Так как <tex> \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \le \rho(x^{(n)}, x) + \rho(x^{(m)}, x) </tex>, и при <tex> n, m \to \infty </tex> каждое из слагаемых в нем любая сходящаяся правой части стремится к <tex> 0 </tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе последовательность по определению. <tex> \Longleftarrow </tex>: Пусть <tex> x^{(n)} </tex> сходитсяв себе. Так же, как в предыдущих доказательствах, обозначим <tex>f(t) = \frac{t}{1+t}</tex>. Так как <tex>\forall k:\ f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|) \le 2^k \rho(x^{(n)}, x^{(m)}) \to 0 </tex>, а <tex>|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k| = \frac{1}{1 - f(|x^{(n)}_k - x^{(m)}_k|)} - 1</tex>, то <tex> x^{(n)} </tex> сходится в себе также и покоординатно. Но по полноте <tex> \mathbb R </tex>, каждая из последовательностей по отдельной координате сходится: <tex> \forall k:\ x^{(n)}_k \to x_k </tex>. Так как покоординатная сходимость в метрике <tex> \mathbb R^{\infty} </tex> равносильна просто сходимости, то <tex> x^{(n)} \to x = (x_1, x_2, \ldots x_n, \ldots) </tex>.

Пусть $(X<tex>\Pi = [a_1, b_1] \rho)$ — полное. $times \overline V_n$ — замкнутые шары. $dots \overline V_{n + 1} \subset \overline V_n$times [a_n, $r_n b_n] \to 0$. Тогда $\bigcap\limits_{n=1}dots</tex> — компакт в <tex>R^{\infty} \overline V_n \ne \emptyset$, и является точкой</tex>.

Пусть $a_n$ — центр соответствующего шара, тогда из вложенности $\forall m <tex> n: \rho(a_n\overline x, a_m\overline y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}< r_n$/tex>, то есть последовательность центров сходится в себегде <tex>{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|} \le 1</tex>, так как $r_n также <tex>\to forall \varepsilon > 0$\exists n_0: \sum\limits_{n = n_0 + 1}^{\infty} {1 \over 2^n} < \varepsilon</tex>. Тогда по полноте последовательность центров сходится к $a$Таким образом, множество $для каждого <tex>\{avarepsilon</tex> можно выбрать номер координаты <tex>n_0</tex>, такой, что все координаты с большими <tex>n_0</tex> номерами суммарно влияют на метрику не больше, чем на <tex>\}$ и есть искомое перечечениеvarepsilon</tex>.

TODOРасмотрим <tex>\Pi_{n_0} = [a_1, b_1] \times \dots \times [a_{n_0}, b_{n_0}] \subset R^{n_0}</tex> — для него можно составить конечную <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>A</tex> (понятно, что по каждой координате это сделать легко, а дальше возьмем декартово произведение). Сделаем сеть <tex>A'</tex> для <tex>\Pi</tex> следующим образом: к каждой <tex>n_0</tex>-мерной точке из <tex>A</tex> допишем произвольные координаты <tex>x_{n_0 + 1}, x_{n_0 + 2} \dots</tex>.* По выбору <tex>\varepsilon</tex>: <tex>\forall x' \in \Pi\ \exists x \in \Pi_{n_0}: \rho (x', x) < \varepsilon</tex>.* По определению <tex>\varepsilon</tex>-сети для <tex>A</tex>: <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x \in \Pi_{n_0} \exists a \in A: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.* По построению <tex>A'</tex> и выбору <tex>\varepsilon</tex>, <tex>\forall a \in A\ \exists a' \in A': интересно\rho(a, a') < \varepsilon</tex>. Таким образом, а почему важна замкнутость?<tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall x' \in \Pi\ \exists a' \in A': \rho(x', a') \le \rho(x', x) + \rho(x, a) + \rho(a, a') \le 3 \varepsilon</tex>, то есть построили конечную <tex>3\varepsilon</tex>-сеть.