Изменения

Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_v_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n v + 1)</tex>.

Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она не является вершиной.

Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.

Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.

== Диаграмма = Алгоритм Форчуна ===Построение производится при помощи заметающей прямой и парабол позади неё (параболы в данном случае - это множества точек, равноудалённых от вершины и прямой). Сама диаграмма "рисуется" местами соприкасания соседних парабол. Несмотря на то, что в теории движение прямой происходит непрерывно, сам алгоритм обрабатывает только крайние случаи, когда происходят события. Рассматривается 2 типа событий - появление новой параболы, когда заметающая прямая касается вершины, и схлопывание параболы - когда две соседние параболы её полностью накрывают. Всего событий <tex>O(n)</tex> (<tex>n</tex> - число вершин). Для каждого события вычисляется его время (позиция заметающей прямой), события кладутся в очередь с приоритетом (отсюда <tex>O(\log n)</tex> по времени) и обрабатываются, пока очередь непуста. При обработке событий также записываются пары взаимодействующих вершин (у которых сайты имеют общую границу), это и является результатом работы алгоритма. Сложность работы алгоритма - <tex>O(n \log n)</tex> по времени и <tex>O(n)</tex> по памяти. Более подробно:* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%87%D1%83%D0%BD%D0%B0 Описание алгоритма на Wikipedia]* [https://www2.cs.sfu.ca/~binay/813.2011/Fortune.pdf Презентация с описанием в деталях] === Алгоритм Чана ===Вершины проецируются из двумерной плоскости на поверхность параболоида (<tex>x, y</tex> остаются те же, добавляется <tex>z = x^2 + y^2</tex>). Далее по ним строится нижняя [[Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|выпуклая оболочка]]. Поскольку параболоид выпуклый, никакие вершины не будут удалены. На выходе получаются рёбра между вершинами, которые соответствуют триангуляции Делоне. Сложность работы - <tex>kO(n \log n)</tex>. == Диаграмма k-го порядка ==

|definition='''Ячейка Вороного ''' <tex>k</tex>'''-го порядка ''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.

Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет . Каждая ячейка построена для некоторого множества набора <tex>P_{k-1}</tex> сайтов. Обозначим множество этих сайтов за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка, построенной на множестве сайтов <tex>P \setminus S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму -го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для остальных сайтовточки <tex>p_i</tex>, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного получаем ячейку для какой-то точки не из множества <tex>P_S \cup \{k-1p_i\}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки). Итого совершаем <tex>P_{k-1}</tex>шагов, на каждом строим <tex>O(n)</tex> диграмм Вороного за время <tex>O(n^3)</tex>, пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex> времени, в итоге получаетсяа потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к а объединение происходит за <tex>O(1)</tex> за счёт структуры РСДС). Итого <tex>O(k\cdot n^3)</tex> точкам.

|proof=[[Файл:voronoi-farthest-inside.png|200px|right]]Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.

Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>pp_i</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём окружность с центром в луч <tex>qp_i</tex>, проходящую через . Он пересечёт ребро выпуклой оболочки <tex>pp_j p_k</tex>. Так как <tex>p</tex> — внутри выпуклой оболочкиПолучатся два смежных угла, рассмотрим тот, эта окружность пересечёт оболочку который оказался прямым или полностью лежит внутри неётупым. Тогда вне окружности должен лежать какой-то сайт <tex>p_i</tex>. Но тогда в полученном треугольнике <tex>\rho(q, p_ip_j) > \rho(q, pp_i)</tex>, так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.

* [https://web.archive.org/web/20170329014016/http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]