1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
# Код Грея назвается монотонным, если нет таких слов $g_i$ и $g_j$, что $i < j$, а $g_i$ содержит на 2 или больше единиц больше, чем $g_j$. Докажите, что существует монотонный код Грея
# Докажите корректность следующего алгоритма построения цепного кода. Начинаем со строки из $n$ нулей. Каждый раз пытаемся жадно приписать 1, если слово из последних $n$ символов уже встречалось раньше, то приписываем 0. Заканчиваем, когда все $2^n$ слов получены.
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$
# Докажите, что $\sum_{k=0}^n (-1)^kC_n^k = 0$
# Используйте предыдущее задание для альтернативного доказательства формулы включения-исключения: посчитайте для каждого элемента, сколько раз он будет посчитан в правой части формулы.
# Коды Грея для перестановок. Предложите способ перечисления перестановок, в котором соседние перестановки отличаются обменом двух соседних элементов (элементарной транспозицией).
# Коды Грея для сочетаний. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние сочетания отличаются заменой одного элемента.
# Коды Грея для размещений. Предложите способ перечисления сочетаний, в котором соседние размещения отличаются заменой одного элемента в одной позиции.
# Максимумом в перестановке называется элемент, который больше своих соседей (одного, если он первый или последний, обоих иначе). Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементами с $k$ максимумами
# Подъемом в перестановке называется пара соседних элементов, таких что $a_{i-1} < a_i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ подъемами
# Неподвижной точкой в перестановке называется элемент $a_i = i$. Выведите рекуррентную формулу для числа перестановок $n$ элементов с $k$ неподвижными точками
# Сочетание с повторениями - это способ выбрать из $n$ элементов $k$, причем один элемент можно выбирать несколько раз. Порядок не важен. Чему равно число сочетаний с повторениями из $n$ по $k$?
# Размещение с повторениями - это способ выбрать из $n$ элементов $k$, причем один элемент можно выбирать несколько раз. Порядок выбора важен. Чему равно число размещений с повторениями из $n$ по $k$?
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетные слагаемые
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на нечетное число слагаемых
# Выведите рекуррентную формулу для числа разбиений числа $n$ на различные слагаемые
# Предложите алгоритм получения по перестановке ее таблицы инверсий за $O(n \log n)$.
# Предложите алгоритм получения перестановке по ее таблице инверсий за $O(n^2)$. Отмечайте это задание только если не решили следующее.
# Предложите алгоритм получения перестановки по ее таблице инверсий за $O(n \log n)$.
# Чему равно число перестановок с заданным циклическим классом?
# Степенью перестановки $\pi$ называется минимальное $k$, такое что $\pi^k=i$, где $i$ - тождественная перестановка. Как связана степень перестановки с ее циклическим классом?
# Предложите алгоритм поиска перестановки из $n$ элементов с максимальной степенью за $O(n^3)$.
# Рассмотрим коды Грея для перестановок и коды Грея для их таблиц инверсий. Есть ли между ними связь?
# Докажите, что числа Стирлинга 1 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов базиса возрастающих факториальных степеней к базису обычных степеней
# Докажите, что числа Стирлинга 2 рода образуют матрицу переходов в линейном пространстве полиномов от базиса обычных степеней к базису убывающих факториальных степеней
# Укажите способ подсчитать число разбиений заданного $n$-элементного множества на $k$ упорядоченных непустых подмножеств
# Докажите, что число различных триангуляций правильного $n$-угольника равно числу Каталана. В этом и нескольких следующих заданиях номер соответствующего числа Каталана может отличаться от $n$, требуется также установить соответствие между размером задачи и номерами чисел Каталана.
# Докажите, что число двоичных деревьев с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Докажите, что число подвешенных деревьев с порядком на детях с $n$ вершинами равно числу Каталана.
# Будем называть последоватедовательность ''сортируемой стеком'', если ее можно отсортировать, используя в произвольном порядке следующие операции: (а) взять первый элемент входной последовательности и положить в стек (б) взять верхний элемент стека и отправить в конец выходной последовательности. Докажите, что число перестановок $n$ элементов, сортируемых стеком, равно число Каталана.
# Докажите, что число перестановок $n$ элементов, в которых нет возрастающей последовательности длины 3, равно числу Каталана.
# Докажите, что число способов расставить числа от 1 до $2n$ в прямоугольник $2 \times n$, чтобы числа в каждой строке и каждом столбце возрастали, равно числу Каталана.
# Докажите, что число Каталана $C_n = \frac{1}{n+1}C_{2n}^n$.
# Матрица Ханкеля - матрица $n \times n$, такая что $a[i][j] = C_{i+j-2}$. Докажите, что определитель матрицы Ханкеля равен 1.
# Укажите способ подсчитать число разбиений числа на слагаемые за $O(n \sqrt{n})$ (докажите и используйте пентагональную теорему Эйлера).
# Докажите, что минимальное число невозрастающих подпоследовательностей, на которые можно разбить заданную последовательность, равно длине ее наибольшей возрастающей подпоследовательности
# Докажите, что произведение длины наибольшей возрастающей подпоследовательности и наибольшей убывающей подпоследовательности перестановки не меньше $n$
# Выведите формулу для числа ожерельев из $n$ бусинок $k$ цветов с точностью до циклического сдивига и отражения.
# Выведите формулу для числа раскрасок прямоугольника $n \times m$ в $k$ цветов с точностью до отражения относительно горизонтальной и вертикальной оси.
