Изменения

Centroid decomposition Центроидная декомпозиция (русангл. центроидная декомпозиция''centroid decomposition'') {{--- }} это структура данных, позволяющая отвечать на запросы на дереве. Чаще всего это запросы, связанные с нахождением функции на вершинах, связанных неравенством на расстояние между ними в дереве. Также иногда применяется для запросов на путях в дереве.

Рассмотрим <math>2 </math> задачи на обычном массиве (в дальнейшем мы будем их обобщать на случай дерева): Задача <math>1</math>:

|definition = Есть массив <tex>a[]</tex> положительных целых чисел из <tex>n</tex> элементов и числа . Также дано число <tex>W >= \geqslant 0</tex> и число <tex>l</tex> . Требуется найти количество пар <tex>(i, j)</tex> индексов массива, таких что <tex>|j - i| <= \leqslant l </tex> и <tex>\sum_sum\limits_{k=i=0}^{n - 1j} [a[i]] <= a_k \leqslant W</tex>.

Задача <math>2</math>:

|definition = Есть прямая дорога, на которой расположены <tex>n</tex> городов. В некоторых городах есть госпитали, которые могут принимать больных. Поступают запросы вида :1) * дан город <tex>v</tex>, в котором находится больной и требуется найти такой город <tex>u</tex>, что который может принимать больных и <tex>abs{|u - v}|</tex> минимально возможное.2) * дан город <tex>v</tex> и сказано, что больше он не будет принимать больных3) * дан город <tex>v</tex> и сказано, что теперь он может принимать больных

Первая задача решается методом [[Сортировка_слиянием|qevide&conqure (рус. разделяй «разделяй и властвуй)властвуй»]] {{- --}} давайте разделим массив <tex>a[0...\dots n-1]</tex> на 2 массива <tex>a[0...\fracdots\dfrac{n}{2} - 1]</tex> и <tex>a[\fracdfrac{n}{2}...\dots n-1]</tex> и рекурсивно решим задачу для каждого из них. Осталось научиться находить количество искомых пар <tex>(i, j)</tex>, таких что <tex>i < \fracdfrac{n}{2}, \text{ }j >= \fracgeqslant \dfrac{n}{2}</tex>. Для этого воспользуемся другой известной техникой {{- --}} методом двух указателей. Посчитаем массив префиксных сумм для правой половины <tex>pref[i] = \sum_sum\limits_{j=\frac{n/}{2}}^{i} [a[j]]a_j</tex> и суффиксных (<tex>(suf[i] = \sum_sum\limits_{j=i}^{\frac{n/}{2 } + 1} [a[i]]a_j)</tex>) {{--- }} для левой. Заведем два указателя (<tex>p1(p_1</tex> и <tex>p2p_2)</tex>). Изначально установим <tex>p1 p_1 = \fracdfrac{n}{2} - l + 1, p2 \text{ }p_2 = \fracdfrac{n}{2}</tex>. Пока <tex>p2 p_2 - 1> \fracdfrac{n}{2}</tex> и

<tex>pref[p2p_2] + suf[p1p_1] > W </tex> будем уменьшать <math>p2p_2</math> на <math>1</math>. Если после этого <math>pref[p2p_2] + suf[p1p_1] <= \leqslant W</math>, то к ответу прибавим <math>(p2 p_2 - \fracdfrac{n}{2} + 1) * \cdot (\fracdfrac{n}{2} - p1p_1)</math>, посго, после чего увеличим <math>p1p_1</math> на <math>1</math>. Так будем делать, пока <math>p1 p_1 < \fracdfrac{n}{2}</math>. В конце сложим текущий ответ и ответы для половин массива {{- --}} получим ответ на задачу.Время работы такого алгоритма: <tex>T(n) = 2 \cdot T(n / 2) + O(n) = O(n*log(n))</tex>

Вторая задача имеет запросы на изменение и поэтому надо применить динамическую версию qevide&conqure «разделяй и властвуй» {{--- }} [[Дерево_отрезков._Построение|дерево отрезков]]. Построим дерево отрезков,поддерживающее 2 вида запросов : присвоение в точке и минимум на отрезке. Изначально сделаем так, чтобы дереву отрезков соответствовал массив <math>b[]</math>, такой что <tex>b[i] b_i = 0</tex>, если в <math>i</math>-м городе принимает госпиталь и <tex>b[i] b_i = 1</tex> иначе. Когда в каком-то городе открывается/закрывается госпиталь {{- --}} делаем запрос на изменение в дереве отрезков. Когда требуется узнать ближайщий ближайший госпиталь к <math>i</math>-му городу, можно воспользоваться одной из следующих идей : а) (* <tex>(O(n \dot cdot log^2(n))</tex>) Бинарным поиском ищем ближайший слева и ближайший справа к <math>i</math>-му городу госпиталь (такой город <math>j</math>, что <mathtex>\min(\limits_{k=i...j) }b_k= 1)</mathtex>). Для этого внутри бинарного поиска каждый раз делаем запрос на поиск минимума в дереве отрезков. б) (* <tex>(O(n \dot cdot \log(n))</tex>) Будем одним спуском/подъемом по дереву определять, куда нам нужно идти (в левое или правое поддерево), тем самым делая одновоременно одновременно и бинарный поиск, и спуск/подъем по дереву.

==== Решение ==== Построим центроидную декомпозицию <math>T</math> дерева <math>t</math>. Изначально посчитаем для каждого центроида, содержащего вершину <math>0</math> посчитаем расстояние до вершины <math>0</math>. Для этого воспользуемся [[Метод_двоичного_подъема|методом двоичных подъемов для поиска lca пары вершин в дереве]], а также тем фактом, что если глубина <math>h(v)</math> вершины <math>v</math> в дереве определена как расстояние от корня до вершины <math>v</math>, то длина пути между парой вершин <math>(u, v)</math> есть <tex>len(u, v) = h(u) + h(v) - 2 \cdot h(lca(u, v))</tex>. Если изначально предпосчитать проходом [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин| <math>dfs</math>]] величины <math>h(v)</math> за <math>O(n)</math>, то ответ на запрос <math>len(u, v)</math> можно делать за время <math>O(\log(n))</math> с <tex>O(n \cdot \log(n)) </tex>доп. памятью. Также можно воспользоваться техникой [[Сведение_задачи_LCA_к_задаче_RMQ|сведения задачи LCA к RMQ]] и решить с <math>O(n)</math> дополнительной памятью и <math>O(1)</math> времени на запрос. Теперь научимся отвечать на запросы. Из последнего свойства центроидной декомпозиции видно, что если <math>u</math> {{---}} искомая ближайшая помеченная вершина к <math>v</math>, то путь между ними содержит центроид <math>c</math>, такой что <tex>u, v \in T(c)</tex>, причем <math>c</math> {{---}} предок одновременно вершин <math>u, v</math> в дереве<math>T</math>. Поэтому заведем [[Красно-черное_дерево|двоичное дерево поиска]] для каждого центроида <math>c \in T</math>. В этой структуре для каждой вершины <math>c</math> будем хранить пары <math>(len(c, u), u)</math> для всех помеченных вершин <math>u</math> в поддереве центроидов <math>T(c)</math>. Когда приходит запрос пометить вершину <math>v</math> {{---}} добавим в структуру данных для всех предков <math>p_c</math> вершины <math>v</math> в дереве <math>T</math> пары <math>(len(p_c, v), v)</math>. Мы совершим <math>O(\log(n))</math> добавлений, затратив <math>O(\log(n))</math> действий на каждое. Запрос снятия пометки с вершины обрабатывается аналогичными удалениями. Запрос поиска ближайшей к <math>v</math> помеченной вершины {{---}} это запрос поиска вершины <math>u</math>, такой что величина <math>len(c, u) + len(c, v)</math> минимальна, где <math>c</math> {{---}} предок <math>v</math> в дереве центроидов (по пятому свойству, нас интересуют именно такие <math>c)</math>. Этот запрос занимает так же <tex>O(log^2(n))</tex> времени. Итак, мы научились решать задачу с <math>O(n)</math> дополнительной памятью и временной сложностью <math>O(log^2(n))</math> на запрос любого типа с предварительным предпосчетом за <math>O(n)</math>. == Варианты реализации хранения центроидной декомпозиции ==Для хранения дерева центроидов <math>T</math> есть <math>2</math> подхода, имеющих свои преимущества и недостатки:* Для каждой вершины <math>v</math> исходного дерева запомним величину <math>p_v</math> {{---}} номер предка вершины <math>v</math> в дереве <math>T</math>. Этот подход наиболее экономный по памяти <math>(O(n))</math>, но уступает в скорости и функциональности. * Для каждой вершины <math>v</math> исходного дерева будем хранить весь массив предков <math>p[v]</math> в дереве центроидов. Этот подход уступает в количестве необходимой дополнительной памяти <tex>(O(n \cdot \log(n))</tex> суммарно), но имеет ряд преимуществ: #При проходе по массиву предков фиксированной вершины будет выигрыш в скорости работы, так как весь массив будет лежать непрерывным блоком данных и следовательно будет закэширован# На массиве предков можно строить различные структуры данных (такие как, например, дерево отрезков) для быстрого (в случае с деревом отрезков <math>O(log(\log(n)))</math> на запрос) поиска предка с необходимыми свойствами. Так, например, в описанной выше задаче про помеченные вершины наибольшего общего предка можно искать методом двоичных подъемов за <math>O(\log(\log(n))</math> на запрос, так как размер массива предков есть <math>O(\log(n))</math> (по свойству <math>1</math> центроидной декомпозиции). Используя эту оптимизацию можно получить время <math>O(\log(n)) + O(\log(\log(n)) =O(\log(n))</math> на запрос нахождения ближайшей помеченной вершины. Чтобы добиться улучшенной асимптотики для запросов изменения можно хранить дерево отрезков на каждом из путей <math>p[v]</math>, в каждой вершине которого хранить двоичное дерево поиска и поддерживать отложенные операции. Тогда ответ на эти запросы будет занимать <math>O(\log(n) \cdot \log(\log(n))</math> времени.

== Примечания ==