Разрез, лемма о потоке через разрез

Определение:

[math](s,t)[/math]-разрезом (англ. s-t cut) [math]\langle S,T\rangle[/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям: [math]s\in S, t\in T[/math] [math]S = V\setminus T[/math]

Определение:

Пропускная способность разреза (англ. capacity of the cut) [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math].

Определение:

Поток в разрезе (англ. flow in the cut) [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math].

Определение:

Минимальным разрезом (англ. minimum cut) называется разрез с минимально возможной пропускной способностью

Лемма (о величине потока):

Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] — разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|[/math] 1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются: [math]f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)[/math] 2-е равенство выполняется из-за антисимметричности: [math]f(S,S)=-f(S,S)=0[/math] 3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм 4-е равенство выполняется из-за сохранения потока

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза):

Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] — разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\leqslant c(S,T)[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)= \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\geqslant 0}[/math], из-за ограничений пропускных способностей [math]f(u,v) [/math] [math]\leqslant c(u,v)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма (о максимальном потоке и минимальном разрезе):

Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] — максимален, а разрез [math]\langle S,T\rangle[/math] — минимален.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Потоки и разрезы Из закона слабой двойственности следует, что [math]f(S_1,T_1)\leqslant c(S_2,T_2)[/math] для любых двух разрезов [math]\langle S_1,T_1\rangle[/math] и [math]\langle S_2,T_2\rangle[/math] в сети [math]G[/math], так как [math]f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\leqslant c(S_2,T_2)[/math]. Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения. Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети [math]G[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Среди всех разрезов сети разрез с минимальной пропускной способностью определяет максимальный поток в сети.

Минимальный разрез — 1 с пропускной способностью 60

Разрез	"Разрезанные" ребра	Пропускная способность
1	(1,2),(1,3),(1,4)	10+30+20=60
2	(1,3),(1,4),(2,3),(2,5)	30+10+40+30=110
3	(2,5),(3,5),(4,5)	30+20+20=70

Источники информации

• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
• Википедия: Разрез графа
• Википедия: Разрез графа (англ.)