Изменения

|definition='''Динамическое программирование по профилю''' (англ. ''dynamic programming with profile'') {{---}} способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью [[Динамическое программирование|динамического программирования]], когда одно из измерений не большоенебольшое.

Обычно дана таблица и надо посчитать количество замощений этой таблицы некоторыми фигурами (замощение шахматной доски доминошками). Можно перебрать все варианты и выбрать из них удовлетворяющие условию. Но можно воспользоваться методом динамического программирования по профилю и сократить время по одной размерности до линейной. Затем пусть у нас есть правило по которому надо заполнить и для него нам надо <tex>k</tex> предыдущих линий. Тогда можно перебрать все замощения длиной <tex>k\times n</tex>. В итоге нужно заполнить данную таблицу этими замощениями. Получается, что если перебирать все варианты нам понадобиться понадобится <tex>O(a^{nm})</tex> времени, а если перебирать только состояния и переходить по ним нам потребуется <tex>O(a^{kn} \cdot m)</tex> времени (где <tex>a</tex> {{-- -}} количество способов замещения <tex>1</tex> замощения одной клетки).

Ответом будет <tex> \sum a[m][i]</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} профиль, который может быть последним (т.е. все группы из <tex>0</tex> имеют четные размеры).

<font color=green>// n, m {{- --}} размер таблицы </font> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{1}</tex>

<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{0}</tex>

'''for''' <tex>k = \mathtt{1}..\mathtt{m } - \mathtt{1} </tex> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k } - \mathtt{1}][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex> <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\lt \lt \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно закончить <tex>\mathtt{i}</tex> профилем <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{ans } + \mathtt{a}[\mathtt{m } - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> '''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}\times m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>.

<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^{n+ 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times fmf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times nmn)</tex>.

Ответом будет <tex> \displaystyle \sum_{ji=0}^{2^n -1} a[m][i]</tex>

<font color=green>// n, m {{- --}} размер таблицы </font> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{1}</tex>

<tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[i0][0\mathtt{i}]\ = \mathtt{1}</tex> <font color=green >// Так как мы можем начать c любого профиля</font> '''for''' <tex>\mathtt{k } = \mathtt{1}..\mathtt{m } - \mathtt{1} </tex> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k } - 1][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex> <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1}<<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{ans } + \mathtt{a}[\mathtt{m } - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> <font color=green>// Так как мы можем закончить любым профилем </font> '''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}\times m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>.

<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^{n+ 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times fmf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times nmn)</tex>.

Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому). Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома. Выглядит это так:

=== Пример ===Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через <tex>i</tex>-ю горизонталь вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.[[Файл:img34.gif|300px|thumb|right|]]Профилем будет пара <tex>(p, i)</tex>, в <tex>p</tex> будет информация о <tex>n + 1</tex> маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; <tex>i</tex> обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер <tex>i + 1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>0</tex> до <tex>n - 1</tex>.

Профилем будет пара Пусть <tex>d[pr_1][pr_2] = 1</tex> если из профиля <tex>pr_1</tex> = <tex>(p_1, i_1)</tex> можно перейти в <tex>pr_2 = (pp_2, ii_2)</tex>, в иначе <tex>p0</tex> будет информация о . * Eсли <tex>i < n - 1</tex>, то <tex>i_1 + 1= i_2</tex>, иначе <tex>i_2 = 0 </tex> маленьком квадратике слева от базовой линии; * Mожно так положить доминошку, имеющем накрывающую квадратик с ней общие точки; номером <tex>i+ 1</tex>, что после этого в <tex>p_2</tex> обозначает номер горизонталибудет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.Проще говоря, доминошку можно класть только двумя способами {{---}} как показано на рисунках (на которой произошел изломквадратик с номером <tex>i + 1</tex> можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). Квадратики профиля будут нумероваться сверху То, что потом получается после сдвига внизизлома, и будет новым профилем. Заметим, так что угловой будет если клетка <tex>i + 1</tex> занята, то доминошку уже не надо класть, и <tex>(p, i)</tex> логично отождествить с <tex>(p, i + 1)</tex>. Условно пишется {{---}} "<tex>i + 1</tex>", однако, нужно всегда иметь номер в виду возможность <tex>i + = n - 1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля Легко заметить, так что количество профилей увеличилось в <tex>i2n</tex> пробегает значения раз (добавилось число от <tex>01</tex> до <tex>n - 1</tex> и еще один бит). Но зато количество переходов резко сократилось с <tex>2^n</tex> до <tex>2</tex>.

<font color=green>//Для двух профилей pr1 профиля (p, i) выводятся все переходы из него (нумерация горизонталей начинается с нуля и i = 0..n - 1)</font> <font color=green>// Функция bit(p1x, i1i)и pr2 , возвращающая единицу или ноль или i-й бит в двоичной записи числа x</font> '''print_all_links'''(<tex>\mathtt{p}</tex>, <tex>\mathtt{i}</tex>): '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{1}}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})) << \ \mathtt{1}</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex> '''else''' '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p}, \mathtt{i}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1} </tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} << \ \mathtt{1})</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{1} << \ \mathtt{n})</tex>, " ", <tex>(\mathtt{i} + \mathtt{1}) % \mathtt{n})</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} < \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> && <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{2}}) == \mathtt{0}</tex> '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (p2\mathtt{4} << \ \mathtt{i})</tex>, i2" ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1}) положим d</tex>[pr1[Файл:ok.jpg|640px|thumb|left|Возможные переходы][pr2] = 1 если и только если:

а)если i При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, у которых < n - 1, то i1 + 1 = i2; иначе i2 = 0;б)можно так положить доминошку, накрывающую tex>(i + 1)</tex>-й квадратик, что после этого в p2 будет храниться в точности информация о соответствующих квадратикахбит равен единице).Проще говоряОтождествим все профили с один переходом с теми, доминошку можно класть только двумя способами -- как показано на рисунках (на кто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть <tex>pr_2</tex> (i + 1)-й квадратик можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошкитолько он)получается из <tex>pr_1</tex>, который, в свою очередь, получается из <tex>pr_0</tex>. ТоТогда имеются такие соотношения: <tex>d[pr_0, что потом получается после сдвига вниз изломаpr_1] = 1</tex>, и будет новым профилем. Заметим<tex>d[pr_1, что если (i + pr_2] = 1)</tex>. Отождествить <tex>pr_1</tex> и <tex>pr_2</tex> {{---я клетка занята}} это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то доминошку уже не надо кластьесть теперь <tex>d[pr_0, pr_1] = 0</tex> и (p<tex>d[pr_1, i) логично отождествить с (ppr_2] = 0</tex>, i + 1) ("i + 1" пишется условноно <tex>d[pr_0, нужно всегда иметь в виду возможность i pr_2] = n - 1)</tex>, и так далее.

Легко заметитьТаким образом, что количество возможно сокращение профилей увеличилось в 2n раз не менее чем вдвое. Хотя можно совершить дальнейшие оптимизации. В итоге асимптотика составляет <tex>O(добавилось число от 1 до n и еще один бит2^nnm)</tex>. Но зато количество переходов резко сократилось с 2n до 2Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.