Матфизика 6 семестр задания с лекций

Здесь дано подмножество задач, которые решали на лекциях по мат. физике (1-ый модуль). Решения должны быть строго формальными.

Посчитать [math] (f, \phi) [/math] (представить через интеграл и упростить если возможно), где [math] f(x) [/math] равно:

• [math] x^2 [/math]
• [math] \sigma(x) [/math]
• [math] \sigma(x-x_0) [/math]
• [math] \mathit{\Theta}(x) = [x \geqslant 0] [/math]
• [math] ln|x| [/math]
• [math] \frac{1}{x} [/math]

Показать что выполняется:

• [math] \mathit{\Theta'} = \sigma [/math]
• [math] \sigma^{(n)} =\ (-1)^n \phi^{(n)}(0) [/math]
• [math] ln'|x| = \frac{1}{x} [/math]
• [math] \alpha \in C^{\infty} ,\ f \in \mathcal{D}' \Rightarrow (\alpha \cdot f)' = \alpha' \cdot f + \alpha \cdot f' \quad (\mathcal{D}' [/math] — пространство обобщённых функций [math] ) [/math]
• [math] \ldots [/math]
• Здесь что-то было
• [math] \ldots [/math]

Решить уравнение:

• [math] (x-1)(x-2)y'' = \mathcal{P} \frac{1}{x-1} [/math]

Показать что выполняется:

• [math] \cos nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 [/math]
• [math] \sin nx \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]
• [math] e^{inx} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} 0 \quad [/math]