|
|
| (не показано 12 промежуточных версий 4 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{В разработке}}
| |
| − |
| |
| − | ==Квадратичный закон взаимности==
| |
| − |
| |
| | {{Теорема | | {{Теорема |
| | |id=th1 | | |id=th1 |
| Строка 12: |
Строка 8: |
| | Впервые теорема была сформулирована Эйлером в1783 году, а впоследствии доказана Гауссомв 1796, и имела следующую формулировку: | | Впервые теорема была сформулирована Эйлером в1783 году, а впоследствии доказана Гауссомв 1796, и имела следующую формулировку: |
| | <tex>\left(\cfrac{p}{q}\right)\neq\left(\cfrac{q}{p}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}p\equiv 3\pmod 4\\q\equiv 3\pmod 4\end{cases}</tex> | | <tex>\left(\cfrac{p}{q}\right)\neq\left(\cfrac{q}{p}\right)\Leftrightarrow\begin{cases}p\equiv 3\pmod 4\\q\equiv 3\pmod 4\end{cases}</tex> |
| − | |proof=
| |
| − | Теорема приводится без доказательства.
| |
| | }} | | }} |
| | | | |
| − | ==Символ Якоби==
| + | [[Категория: Теория чисел]] |
| − | | |
| − | {{Определение
| |
| − | |definition=
| |
| − | Пусть <tex>n\ ---</tex> нечетное, больше единицы и <tex>n=p_1\cdots p_s</tex>, где <tex>p_1,\cdots,p_s\ ---</tex> простые числа. Тогда символ Якоби <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex> определяется следующим равенством:
| |
| − | | |
| − | <tex>\left(\cfrac{a}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{a}{p_s}\right)</tex>.
| |
| − | | |
| − | Символ Якоби является обобщением символа Лежандра, а символ Лежандра является частным случаем символа Якоби.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | ===Свойства символа Якоби===
| |
| − | | |
| − | Свойства символа Якоби прямо вытекают из соответствующих свойств символа Лежандра. Их доказательство оставляется читателю в качестве самостоятельного упражнения.
| |
| − | | |
| − | ====Утверждение 1====
| |
| − | <tex>a_1\equiv a \pmod n\Rightarrow\left(\cfrac{a_1}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)</tex>
| |
| − | ====Утверждение 2====
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{ab}{n}\right)=\left(\cfrac{a}{n}\right)\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
| |
| − | ====Утверждение 3====
| |
| − | НОД<tex>(a,n)=1\Rightarrow\left(\cfrac{a^2 b}{n}\right)=\left(\cfrac{b}{n}\right)</tex>
| |
| − | ====Утверждение 4====
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=1</tex>
| |
| − | ====Утверждение 5====
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{-1}{n}\right)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}</tex>
| |
| | | | |
| − | ''Доказательство''
| + | [[Категория: В разработке]] |
| − | Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
| |
| − | | |
| − | <tex>0\equiv(n-1)(m-1)\pmod 4\Rightarrow n-1+m-1=nm-1\pmod 4\Rightarrow \cfrac{n-1}{2}+~\cfrac{m-1}{2}\equiv~\cfrac{nm-1}{2}\pmod 4\Rightarrow\cfrac{p_1-1}{2}+\cdots+\cfrac{p_s-1}{2}\equiv\cfrac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}\pmod 2</tex>
| |
| − | | |
| − | Так как <tex>\left(\cfrac{1}{n}\right)=\left(\cfrac{1}{p_1}\right)\times\cdots\times\left(\cfrac{1}{p_s}\right)=(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}</tex>, получаем: <tex>(-1)^{\frac{p_1-1}{2}+\cdots\frac{p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{p_1p_2\cdots p_s-1}{2}}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\ \triangleleft</tex>
| |
| − | ====Утверждение 6====
| |
| − | <tex>\left(\cfrac{2}{n}\right)=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}</tex>
| |
| − | | |
| − | ''Доказательство''
| |
| − | Аналогично предыдущему докажем, что
| |
| − | | |
| − | <tex>\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}\pmod 2</tex>
| |
| − | | |
| − | Рассмотрим нечетные <tex>n</tex> и <tex>m</tex>:
| |
| − | | |
| − | <tex>0\equiv(n^2-1)(m^2-1)\pmod 16\Rightarrow n^2-1+m^2-1\equiv n^2m^2-1\pmod 16\Rightarrow \cfrac{n^2-1}{8}+\cfrac{m^2-1}{8}\equiv\cfrac{n^2m^2-1}{8}\pmod 2\Rightarrow\cfrac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\cfrac{p_s^2-1}{8}\equiv\cfrac{(p_1p_2\cdots p_s-1)^2}{8}\pmod 2</tex>
| |
| − | | |
| − | Получаем <tex>(-1)^{\frac{p_1^2-1}{8}+\cdots+\frac{p_s^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{(p_1p_2\cdots p_s)^2-1}{8}}=(-1)^{\frac{n^2-1}{8}}\triangleleft</tex>
| |
| − | [[Категория: Теория чисел]] | |
