Изменения

|definition = Правила вида <tex>A \to \varepsilon</tex> называются '''<tex>\varepsilon</tex>-правилами''' (англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-rule'').

|definition = Назовем КС-грамматику Нетерминал <tex>G=(N,\Sigma, P, S)A</tex> грамматикой без называется '''<tex>\varepsilon</tex>-правил порождающим''' (или неукорачивающей), если либо<br/>:(1) <tex>P</tex> не содержит англ. ''<tex>\varepsilon</tex>-правилgenerating''), либо :(2) есть точно одно если <tex>A \varepsilon</tex>-правило <tex>S \to Rightarrow^* \varepsilon</tex> и <tex>S</tex> не встречается в правых частях остальных правил из <tex>P</tex>.

По данной произвольной == Алгоритм поиска &epsilon;-порождающих нетерминалов =='''Вход:''' КС-грамматике грамматика <tex>G\Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex> часто бывает удобно строить новую КС-грамматику .<br/>'''Выход:''' множество <tex>G'\varepsilon</tex> без -порождающих нетерминалов. # Найти все <tex>\varepsilon</tex>-правила. Составить множество, состоящее из нетерминалов, входящих в левые части таких правил, эквивалентную исходной.==Алгоритм удаления &epsilon;-правил==:''Вход''. КС-грамматика # Перебираем правила грамматики <tex> G=(N,\Sigma, P, S)Gamma</tex>.:''Выход''. Эквивалентная КС-грамматика Если найдено правило <tex> G'=(N',A \rightarrow C_1C_2 \Sigma, P', S') ldots C_k</tex> без <, для которого верно, что каждый <tex>\varepsilonC_i</tex>-правил.:''Метод''. (1) Построить принадлежит множеству, то добавить <tex>N_e=\{A \mid A \in N</tex> и <в множество.# Если на шаге 2 множество изменилось, то повторить шаг 2. === Доказательство корректности ==={{Теорема|statement = Описанный выше алгоритм находит все <tex>A \Rightarrow_{G}^{*}\varepsilon\}<</tex>. (2) Построить -порождающие нетерминалы грамматики <tex>P'\Gamma</tex> так:.|proof =  Если Для доказательства корректности алгоритма достаточно показать, что, если множество <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 ... B_k \alpha_k \in P, k \geqslant 0</varepsilon</tex> и -порождающих нетерминалов на очередной итерации алгоритма не изменялось, то алгоритм нашел все <tex>B_i \in N_evarepsilon</tex> для -порождающие нетерминалы. Пусть после завершения алгоритма существуют нетерминалы такие, что они являются <tex>1 \leqslant i \leqslant kvarepsilon</tex>-порождающими, но ни один символ в цепочках не были найдены алгоритмом. Выберем из этих нетерминалов нетерминал <tex>a_j (0 \leqslant j \leqslant k) \notin N_eB</tex>, то включить в из которого выводится <tex>P'\varepsilon</tex> все правила вида за наименьшее число шагов. Тогда в грамматике есть правило <tex>A B \rightarrow C_1C_2 \alpha_0 X_1 \alpha_1 X_2 \alpha_2 ... X_k \alpha_kldots C_k</tex> , где каждый нетерминал <tex>X_i-C_i</tex> либо {{---}} <tex>B_i\varepsilon</tex>, либо -порождающий. Каждый <tex>\varepsilonC_i</tex>, но не включать правило входит в множество <tex>A \rightarrow \varepsilon</tex> (это могло бы произойти в случае-порождающих нетерминалов, если все так как иначе вместо <tex>\alpha_iB</tex> равны необходимо было взять <tex>\varepsilonC_i</tex>). (3) Если Следовательно, на одной из итераций алгоритма <tex>S \in N_eB</tex>, включить уже добавился в множество <tex>P'\varepsilon</tex> правила -порождающих нетерминалов. Противоречие. Следовательно, алгоритм находит все <tex>S' \rightarrow \varepsilon \mid S</tex>-порождающие нетерминалы. где }} === Модификация с очередью ===Заведем несколько структур:*<tex>S'-\mathtt{isEpsilon[nonterm_i]} \ </tex> новый символ{{---}} для каждого нетерминала будем хранить пометку, и положить является он <tex>N'=N \cup \{ S' \}varepsilon</tex>-порождающим или нет. В противном случае положить *<tex>N'=N\mathtt{concernedRules[nonterm_i]} \ </tex> и <tex>S'=S{{---}} для каждого нетерминала будем хранить список номеров тех правил, в правой части которых он встречается;*</tex>. (4) Положить \mathtt{counter[rule_i]} \ </tex> G'=(N'{{---}} для каждого правила будем хранить счетчик количества нетерминалов в правой части,которые еще не помечены <tex>\Sigma, P', S')varepsilon</tex>. -порождающими;*<tex>\Boxmathtt{Q} \ </tex>{{---}} очередь нетерминалов, помеченных <tex>\varepsilon</tex>-порождающими, но еще не обработанных.Для доказательства корректности нам понадобиться следующее утверждение:{{Утверждение|statement= Сначала проставим <tex>A \oversetmathtt{*false}{\underset{G'}{\Rightarrow}}w<</tex> в <tex>(A \ne S')mathtt{isEpsilon} \ </tex>&nbsp; тогда и только тогдадля всех нетерминалов, когда а в <tex>A \oversetmathtt{*counter}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>&nbsp; и&nbsp; для каждого правила запишем количество нетерминалов справа от него. Те правила, для которых <tex>w \ne mathtt{counter} \varepsilon</tex>|proof=<сразу же оказался нулевым, добавим в <tex>\Rightarrowmathtt{Q}</tex><br\>Пусть и объявим истинным соответствующий <tex>A \overset{*}{\undersetmathtt{G'isEpsilon}{\Rightarrow}}w</tex>. Несомненно, так как это <tex>w \ne \varepsilon</tex>-правила. Теперь будем доставать из очереди по одному нетерминалу, поскольку смотреть на список <tex>G'\mathtt{concernedRules} \ </tex> - грамматика без для него и уменьшать <tex>\varepsilonmathtt{counter}</tex>-для всех правил и оттуда. Если <tex>A \ne S'mathtt{counter} \ </tex>.какого-то правила в этот момент обнулился, то нетерминал из левой части этого правила помечается <tex>\varepsilon<br/tex>Докажем индукцией по длине порождения-порождающим, если еще не был помечен до этого, что и добавляется в <tex>A \oversetmathtt{*Q}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex</tex>.<br/> Продолжаем, пока очередь не станет пустой. === Время работы алгоритма ===Обозначим длину порождения Базовый алгоритм работает за <tex>p</texO(\left| \Gamma \right| ^ 2)</tex>.:'''Базис'''В алгоритме с модификацией нетерминал попадает в очередь ровно один раз, соответственно ровно один раз мы пройдемся по списку правил, в правой части которых он лежит. Суммарно получается <tex>p = 1</tex>O(\left| \Gamma \right|)<br/tex>. === Пример ===В этом случае в Рассмотрим грамматику, причем сразу пронумеруем правила:#<tex>G'S\rightarrow ABC</tex> есть правило #<tex>A S\rightarrow wDS </tex>. Согласно конструкции #<tex>G'A\rightarrow \varepsilon</tex> в #<tex>GB\rightarrow AC</tex> есть правило #<tex>A C\rightarrow \alphavarepsilon</tex>, причем #<tex>D\alpha-</tex> это <tex>wrightarrow d</tex> ''Поскольку правило 6 содержит справа терминалы, символы которойоно заведомо не будет влиять на ответ, возможно, перемежаются поэтому мы не будем его учитывать.'' Построим массив списков <tex>\varepsilon-mathtt{concernedRules}</tex> порождающими переменными. Тогда в <{| class="wikitable"| colspan=5 |<tex>\mathtt{concernedRules}</tex>|-!<tex>GS</tex> есть порождения !<tex>A \underset{G}{\Rightarrow} \alpha \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>, где на шагах после первого, из всех переменных в цепочке !<tex>B</tex>!<tex>\alphaC</tex> выводиться !<tex>\varepsilonD</tex>.<br/>:'''Предположение'''. Пусть <tex>[A \overset{*|-|2|1, 4|1|1, 4|2|} {| class="wikitable" style="border:solid 2px gray"!style="border-right:solid 2px gray"|<tex>\undersetmathtt{G'Q}{\Rightarrow}}w</</tex> !style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>(A \ne S')]mathtt{isEpsilon}</tex>&nbsp; !style="border-right:solid 2px gray" colspan=5| <tex>\Rightarrow [A \oversetmathtt{*counter}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>&nbsp; и&nbsp!Комментарий|-!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>w \ne left \varepsilon]{ \right \}</tex> верно для !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>p < nS</tex>.<br/>!style="border-top:'''Переход'''. solid 2px gray"|<tex>p = nA</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B<br/tex>Пусть в порождении !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>nC</tex> шагов, !style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>n > 1D</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G'}{\Rightarrow}X_1 X_2...X_k\overset{*}!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Зададим начальные значения массивам <tex>\mathtt{\underset{G'counter}{\Rightarrow}}w</tex>, где и <tex>X_i \in N \cup \Sigma mathtt{isEpsilon}</tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2...Y_m</tex|-|0|0|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left \{A, где цепочка <tex>Y_1 Y_2...Y_mC \right \}</tex> совпадает с цепочкой !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>X_1 X_2...X_kS</tex>, цепочка !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>Y_1 Y_2...Y_mA</tex>, возможно, перемежаются !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>\varepsilon-B</tex> порождающими переменными.<br/>Цепочку !style="border-top:solid 2px gray"|<tex>wC</tex> можно разбить на !style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>w_1 w_2...w_kD</tex>, где <tex>X_i \overset{*}{\underset{G'}{\Rightarrow}}w_i</tex>. Если !style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2 |Заметим, что правила 3 и 5 являются <tex>X_i\varepsilon</tex> есть терминал, то -правилами. Пометим левые нетерминалы из этих правил и добавим их в очередь. После этого в <tex>\mathtt{Q}</tex> лежит <tex>A</tex>w = X_iи <tex>C</tex>, a если переменная, то порождение а <tex>X_i \oversetmathtt{*counter}{\underset{G'}{\Rightarrow}}w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шаговостался без изменений.<br/> По предположению <tex>X_i \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}}w_i</tex>.<br/>Теперь построим соответствующее порождение в <tex>G</tex>.<br/>|-|0|1|0|1|style="border-right:<tex>A \underset {G}solid 2px gray"|0|3|2|0|2|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{C \Rightarrow} Y_1 Y_2...Y_m right\overset{*}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>A</tex>, декрементируем те счетчики, которые относятся к связанным с ним правилам. К очереди ничего не добавится.|-|0|1|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|2|2|0|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{\underset{G}{\Rightarrow}} X_1 X_2...X_k \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}} w_1 w_2..B \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>C</tex>. После проведения действий из алгоритма в очередь добавится <tex>B</tex>.|-|0|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|1|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{S \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>B</tex>. После действий алгоритма в очередь добавится <tex>S</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|2|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|-|style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray" rowspan=2|<tex>\left\{ \right\}</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>S</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>A</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>B</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|<tex>C</tex>!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|<tex>D</tex>!style="border-top:solid 2px gray"|1!style="border-top:solid 2px gray"|2!style="border-top:solid 2px gray"|3!style="border-top:solid 2px gray"|4!style="border-top:solid 2px gray; border-right:solid 2px gray"|5|style="border-top:solid 2px gray" rowspan=2|Достанем из очереди <tex>S</tex>. Ничего не добавится в очередь и она останется пустой. Алгоритм закончил свое выполнение. Итого в множество <tex>\varepsilon</tex>-правил входят все нетерминалы, кроме <tex>D</tex>.|-|1|1|1|1|style="border-right:solid 2px gray"|0|0|1|0|0|style="border-right:solid 2px gray"|0|} Если применять алгоритм без модификации с очередью, то действия будут следующие:# Возьмём множество состоящее из <tex>\varepsilon</tex>-порождающих нетерминалов <tex>\lbrace A, C \rbrace</tex>.# Добавим <tex>B</tex> в множество, так как правая часть правила <tex>B\rightarrow AC</tex> состоит только из нетерминалов из множества.# Повторим второй пункт для правила <tex>S\rightarrow ABC</tex> и получим множество <tex>\lbrace A, B, C, S \rbrace</tex>.# Больше нет нерассмотренных правил, содержащих справа только нетерминалы из множества. Таким образом <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами являются <tex>A</tex>, <tex>B</tex>, <tex>C</tex> и <tex>S</tex>. == Алгоритм удаления &epsilon;-правил из грамматики =='''Вход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma=\langle N,\Sigma, P, S \rangle</tex>.<br/>'''Выход:''' КС-грамматика <tex> \Gamma'=\langle N,\Sigma, P', S' \rangle</tex> без <tex>\varepsilon</tex>-правил (может присутствовать правило <tex>S \rightarrow \varepsilon</tex>, но в этом случае <tex>S</tex> не встречается в правых частях правил); <tex>L(\Gamma') = L(\Gamma)</tex>. # Добавить все правила из <tex>P</tex> в <tex>P'</tex>.# Найти все <tex>\varepsilon</tex>-порождаюшие нетерминалы.# Для каждого правила вида <tex>A \rightarrow \alpha_0 B_1 \alpha_1 B_2 \alpha_2 \ldots B_k \alpha_k \ </tex> (где <tex>\alpha_i</tex> — последовательности из терминалов и нетерминалов, <tex>B_j</tex> — <tex>\varepsilon</tex>-порождающие нетерминалы) добавить в <tex>P'</tex> все возможные варианты правил, в которых либо присутствует, либо удалён каждый из нетерминалов <tex>B_j\; (1 \leqslant j \leqslant k)</tex>.# Удалить все <tex>\varepsilon</tex>-правила из <tex>P'</tex>.# Если в исходной грамматике <tex>\Gamma</tex> выводилось <tex>\varepsilon</tex>, то необходимо добавить новый нетерминал <tex>S'</tex>, сделать его стартовым, добавить правило <tex>S' \rightarrow S|\varepsilon</tex>. === Доказательство корректности ==={{Теорема|statement = Если грамматика <tex>\Gamma'</tex> была построена с помощью описанного выше алгоритма по грамматике <tex>\Gamma</tex>, то <tex>L(\Gamma') = L(\Gamma)</tex>.|proof =Сначала докажем, что, если не выполнять шаг 5 алгоритма, то получится грамматика <tex>\Gamma' : L(\Gamma') = L(\Gamma) \setminus \lbrace \varepsilon \rbrace </tex>.<br/>Для этого достаточно доказать, что<tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex> тогда и только тогда, когда <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex> и <tex>w \ne \varepsilon</tex> (*). <tex>\Rightarrow</tex>Пусть <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/>Докажем индукцией по длине порождения в грамматике <tex>\Gamma'</tex>, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/> '''База'''. <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>В этом случае в <tex>\Gamma'</tex> есть правило <tex>A \rightarrow w</tex>. По построению <tex>\Gamma'</tex> в <tex>\Gamma</tex> есть правило <tex>A \rightarrow \alpha</tex>, причем <tex>\alpha</tex> — цепочка <tex>w</tex>, элементы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами. Тогда в <tex>\Gamma</tex> есть порождения <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} \alpha \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Предположение индукции'''. Пусть из <tex>A \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w \ne \varepsilon</tex> менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>A \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w</tex>.<br/>'''Переход'''.Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{\Gamma'}{\Rightarrow}X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w</tex>, где <tex>X_i \in N \cup \Sigma </tex>. Первое использованное правило должно быть построено по правилу грамматики <tex>\Gamma</tex> <tex>A \rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex>, где последовательность <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_m</tex> совпадает с последовательностью <tex>X_1 X_2 \ldots X_k</tex>, символы которой, возможно, перемежаются <tex>\varepsilon</tex>-порождающими нетерминалами.<br/>Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex>. Если <tex>X_i</tex> — терминал, то <tex>w_i = X_i</tex>, a если нетерминал, то порождение <tex>X_i \underset{\Gamma'}{\Rightarrow}^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов. По предположению <tex>X_i \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^*w_i</tex>, значит <tex>A \underset {\Gamma}{\Rightarrow} Y_1 Y_2 \ldots Y_m \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* X_1 X_2 \ldots X_k \underset{\Gamma}{\Rightarrow}^* w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>.w_k = w</tex><br/>Ч.т.д.<br/>

Пусть <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>&nbsp; и&nbsp; <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Докажем индукцией по длине порожденияв грамматике <tex>\Gamma</tex>, что <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/> Обозначим длину порождения за <tex>p</tex>.<br/>:'''БазисБаза'''. <tex>p = 1A \underset{\Gamma}{\Rightarrow} w</tex>.<br/>Правило <tex>A \rightarrow w</tex> является правилом присутствует в <tex>G\Gamma</tex>. Поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>, эта это же правило будет и в <tex>G\Gamma'</tex>, поэтому <tex>A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w</tex>.<br/>:'''Предположениеиндукции'''. Пусть из <tex>[A \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w\ne \varepsilon</tex>&nbsp; и&nbsp; менее, чем за <tex>n</tex> шагов, следует, что <tex>w \ne \varepsilon] \Rightarrow [A \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}^*w (A \ne S')]</tex>&nbsp; верно для <tex>p < n</tex>.<br/>:'''Переход'''. <tex>p = n</tex><br/>Пусть в порождении <tex>n</tex> шагов, <tex>n > 1</tex>. Тогда оно имеет вид <tex>A\underset{G\Gamma}{\Rightarrow}Y_1 Y_2...\ldots Y_m\overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}^*w</tex>, где <tex>Y_i \in N \cup \Sigma </tex>. Цепочку <tex>w</tex> можно разбить на <tex>w_1 w_2...\ldots w_m</tex>, где <tex>Y_i \overset{*}underset{\underset{G'Gamma}{\Rightarrow}}^*w_i</tex>.<br/>Пусть <tex>X_1Y_{i_1}, X_2Y_{i_2}, ... X_k\ldots, Y_{i_p}</tex> будут теми — подпоследовательность, состоящая из всех элементов, таких, что <tex>Y_jw_{i_k} \ne \varepsilon</tex>(в порядке записи), для которых то есть <tex>w_i Y_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p} \underset{\ne Gamma}{\varepsilonRightarrow}^*w</tex>. <tex>k p \ge geqslant 1</tex>, поскольку <tex>w \ne \varepsilon</tex>.<br/> Таким образом Значит, <tex>A \rightarrow X_1 X_2 ... X_kY_{i_1} Y_{i_2} \ldots Y_{i_p}</tex> является правилом в <tex>G\Gamma'</tex> по построению <tex>G\Gamma'</tex>. Утверждаем, что <tex> X_1 X_2...X_k \overset{*}{\underset{G}{\Rightarrow}}w</tex>, поскольку только <tex>Y_j</tex>, которых нет среди <tex>X_1, X_2, ... X_k</tex>, использованы для порождения <tex>\varepsilon</tex> и не вносят ничего в порождение <tex>w<br/tex>.Так как каждое из порождений <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex> содержит менее <tex>n</tex> шагов, к ним можно применить предположение индукции и заключить, что , если <tex>w_j w_i \ne \varepsilon</tex>, то <tex>Y_j Y_i \overset{*}underset{\underset{GGamma'}{\Rightarrow}}w_j^*w_i</tex>.<br/>Таким образом , <tex>A \underset{G\Gamma'}{\rightarrowRightarrow} Y_{i_1} Y_{i_2} X_1 X_2 ... X_k \oversetldots Y_{*i_p}{\underset{G\Gamma'}{\Rightarrow}} ^* w</tex>. Подставив <tex>S</tex> вместо <tex>A</tex> в утверждение (*), видим, что <tex>w \in L(\Gamma)</tex> для <tex>w \ne \varepsilon</tex> тогда и только тогда, когда <tex>w \in L(\Gamma')<br/tex>Ч.т.дТак как после выполнения шага 5 алгоритма в <tex>\Gamma'</tex> могло добавиться только пустое слово <tex>\varepsilon</tex>, то язык, задаваемый КС-грамматикой <tex>\Gamma'</tex>, совпадает с языком, задаваемым КС-грамматикой <tex>\Gamma</tex>.

Теперь можно доказать корректность:{{Утверждение|statement=Алгоритм корректен: В результате мы получим новую грамматику без <tex>L(G)=L(G')\varepsilon</tex>-правил: |proof=Подставив :<tex>S\rightarrow Ad|ABd|ACd|ABCd|Bd|BCd|Cd|d</tex> вместо :<tex>A</tex> в утверждении выше, видим, что <tex>w \in L(G)rightarrow a</tex> для :<tex>w B\ne \varepsilonrightarrow A|AC|C</tex> тогда и только тогда, когда :<tex>w C\in L(G')rightarrow c</tex> == См.<br/> Очевиднотакже ==* [[Контекстно-свободные_грамматики, что <tex>\varepsilon \in L(G)</tex> тогда и только тогда_вывод, когда <tex>\varepsilon \in L(G')</tex>.<br/> Таким образом_лево-_и_правосторонний_вывод, <tex>L(G)=L(G')</tex>. _дерево_разбора|Контекстно-свободные грамматики]]* [[Нормальная_форма_Хомского|Нормальная форма Хомского]]}}== Литература Источники информации ==* Ахо Альфред, Джеффри Ульман''Хопкрофт Д. Теория Синтаксического Анализа, Перевода и КомпиляцииМотвани Р. Том 1.* Джон Хопкрофт, Раджив Мотвани, Джеффри УльманД. '' '''Введение в теорию автоматов, языков и вычислений''', 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002.— С. 273: ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)* [http://en.wikipedia.org/wiki/Chomsky_normal_form Wikipedia — Chomsky normal form] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Контекстно-свободные грамматики]][[Категория: Нормальные формы КС-грамматик]]