Изменения

{{В разработке}}Определение|definition=Пусть есть отрезок <tex>\left [ a,b \right ]</tex> и некоторое <tex dpi = "140">\tau:a=x_0<x_1<...\dots <x_n=b</tex> (<tex>\tau</tex> называется ''разбиением '' отрезка <tex>\left [ a,b \right ]</tex>). }} {{Определение|definition=<tex dpi = "140">\Delta_k=x_{k+1}-x_k</tex> называется длиной длина текущего отрезка разбиения.<br><br>}} {{Определение|definition=<tex>\operatorname{rang~ } \tau \stackrel{\mathrm{def}}{=} \max \left \{ \Delta_0, \Delta_1, \dots, \Delta_{n-1} \right \}</tex><br><tex dpi = "140">\overline{x_k} \mathcal {2} \left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>~f\colon { \left [ a,b \right ]} \to {\mathbb {R}}</tex><br><tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex> (также обозначается как <tex dpi = "140">\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex dpi = "140">\sigma \left ( \tau \right )</tex>) <tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex> называется интегральной суммой Римана по разбиению <tex>\tau</tex>.<br><tex dpi = "140">I=$$\lim\limits_{rang~ \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )$$\stackrel{\mathrm{def}}{\Leftrightarrow}\forall \epsilon >0~\exists \delta >0: rang~ \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \epsilon\left ( \forall \left \{ \overline{x_k} \right \}\right )</tex><br><br>

|definition=Пусть <tex>\overline{x_k}</tex> {{---}} произвольное <tex>x</tex> из <tex>\left [ x_k,x_{k+1} \right ]</tex>, <tex>f</tex> {{---}} функция, заданная на отрезке <tex>[a; b]</tex>, <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение отрезка <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\sigma \left ( f, \tau, \left \{ \overline{x_k} \right \} \right )</tex>(также обозначается как <tex>\sigma \left ( f, \tau \right )</tex> или <tex>\sigma \left ( \tau \right )</tex>)<tex>~= \sum\limits_{k=0}^{n-1}</tex> <tex>f \left ( \overline{x_k} \right )\cdot\Delta_{k}</tex>называется '''интегральной суммой Римана''' по разбиению <tex>\tau</tex>.}} <tex>I= \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau\to 0} \sigma \left ( f, \tau \right )</tex> <tex>\stackrel{\mathrm{def}}{\iff} </tex> <tex>\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall \tau : \operatorname{rang} \tau<\delta \Rightarrow \left | \sigma \left ( f, \tau \right ) - I \right | < \varepsilon</tex> {{Определение|definition=Определённым интегралом Римана [[Отображения|функции ]] <tex>f</tex> называется [[Предел последовательности|предел ]] её интегральных сумм, коротко записывается как <tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx = \int\limits_a^b f</tex>}} Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \in \mathcal{R}\left ( a,b \right )<br/tex> {{Утверждение|id= utv1|statement=Если <tex>f \in \mathcal R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> {{---}} ограничена.|proof=Пусть <tex>\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\varepsilon=1</tex>.Делим <tex>\left [ a, b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex>\frac{b-a}{n}<\delta </tex> и фиксируем такое разбиение.Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>и варьируем <tex>\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно;для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.<tex>I-1-\sum\limits_{k=0, k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k \neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot \Delta_{k}</tex>.Разделим на <tex> \Delta_{k_0}: \left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>.Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.}}

Факт существования интеграла функции <tex>f</tex> обозначается как <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex><br><br>Утверждение: Если <tex>f \mathcal {2} R\left ( a,b \right )</tex>, то <tex>f</tex> — ограничена.<br><tex>\triangleright</tex> Пусть <tex dpi = "140">\exists I=\lim \sigma \left ( f, \tau \right ), ~\epsilon=1</tex>. Делим <tex>\left [ a,b \right ]</tex> на <tex>n</tex> разных частей, так, чтобы <tex dpi = "140">\frac{b-a}{n}<\sigma </tex> и фиксируем такое разбиение. Среди отрезков <tex>x_n</tex> берём один из них[Категория: <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+Математический анализ 1} \right курс]</tex> и варьируем <tex dpi = "140">\overline{x_{k_0}}</tex> в его пределах произвольно; для других отрезков в качестве промежуточных точек берём их левую границу.<tex>I-1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}<f \left ( \overline{x_{k_0}} \right )\cdot\Delta_{k_0}<I+1-\sum\limits_{k=0,k\neq k_0}^{n-1} f \left ( x_k \right )\cdot\Delta_{k}</tex>. Разделим на <tex>\Delta_{k_0}</tex>: <tex>\left | f \left ( \overline{x_{k_0}} \right ) \right | \leqslant M_{k_0}</tex> на <tex>\left [ x_{k_0},x_{{k_0}+1} \right ]</tex>. Проделывая так с каждым отрезком, мы увидим, что на каждом из них фунцкия ограничена, значит, она будет ограничена на всём отрезке.